В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным 60∘, пересекаются высоты BB1 и CC1 в точке
В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным 60∘, пересекаются высоты BB1 и CC1 в точке H. Расположите следующие 7 величин в порядке убывания: AB+AC, BB1+CC1, 2BC, BC1+C1B1+B1C, BC1+B1C, BC1+C1C, BH+CH. Введите числа от 1 до 7 в нужном порядке, разделенные пробелом (например, «1 7 2 6 3»).
Константин 57
Для решения данной задачи нам понадобится использовать некоторые свойства и теоремы о треугольниках и о высотах. Рассмотрим каждую из величин по отдельности и пошагово определим их порядок убывания.AB+AC: Эта величина представляет собой сумму сторон треугольника ABC, не является зависимой от других величин. Следовательно, мы можем исключить ее из рассмотрения.
BB1+CC1: Эта величина представляет собой сумму двух отрезков - длину высоты BB1 и длину высоты CC1. Мы знаем, что высоты пересекаются в точке H. Так как треугольник ABC остроугольный, значит, все его высоты лежат внутри треугольника. Следовательно, длины BB1 и CC1 меньше суммы сторон треугольника ABC. То есть, BB1+CC1 < AB+AC.
2BC: Эта величина представляет собой удвоенную длину стороны BC. Так как треугольник ABC остроугольный, стороны треугольника больше его высот. Следовательно, BC > BB1 и BC > CC1. Удвоенная длина BC будет больше суммы длин BB1 и CC1, то есть 2BC > BB1+CC1.
BC1+C1B1+B1C: Эта величина представляет собой сумму трех отрезков - длину стороны треугольника BC (BC1), длину стороны треугольника C1B1 и длину стороны треугольника B1C. Так как треугольник ABC остроугольный, его стороны больше его высот. Значит, BC > BB1, C1B1 > CC1 и B1C > BC1. Таким образом, сумма BC1+C1B1+B1C будет больше суммы BB1+CC1, то есть BC1+C1B1+B1C > BB1+CC1.
BC1+B1C: Эта величина представляет собой сумму двух отрезков - длину стороны треугольника BC (BC1) и длину стороны треугольника B1C. Мы уже установили, что BC1 > BB1 и B1C > BC1. Следовательно, BC1+B1C > BB1+BC1. Простым вычитанием получаем, что B1C > BB1, значит, BC1+B1C > BB1+CC1.
BC1+C1C: Эта величина представляет собой сумму двух отрезков - длину стороны треугольника BC (BC1) и длину стороны треугольника C1C. Мы уже установили, что BC1 > BB1 и C1C > CC1. Следовательно, BC1+C1C > BB1+CC1.
BH+CH: Эта величина представляет собой сумму двух отрезков - длину высоты треугольника BB1 (BH) и длину высоты треугольника CC1 (CH). Так как треугольник ABC остроугольный, все его высоты лежат внутри треугольника. Значит, BH < BC1 и CH < CC1. Следовательно, BH+CH < BC1+C1C и BH+CH < BC1+B1C.
Таким образом, мы получили порядок убывания следующих величин:
AB+AC < BB1+CC1 < 2BC > BC1+C1B1+B1C > BC1+B1C > BC1+C1C > BH+CH
Ответ: 1 2 4 6 5 7