В призме abca1b1c1, найдите точку, где выполняется равенство векторов bm=ba+c1b1+a1c1

Svetlyy_Mir

20

Чтобы найти точку, где выполняется равенство векторов \(\mathbf{bm} = \mathbf{ba} + \mathbf{c1b1} + \mathbf{a1c1}\) в призме \(abca1b1c1\), необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Построение векторов
Сначала введем обозначения для каждой точки:
\(a\) - начальная точка вектора \(\mathbf{ba}\)
\(b\) - конечная точка вектора \(\mathbf{ba}\)
\(c1\) - начальная точка вектора \(\mathbf{c1b1}\)
\(b1\) - конечная точка вектора \(\mathbf{c1b1}\)
\(a1\) - начальная точка вектора \(\mathbf{a1c1}\)
\(c1\) - конечная точка вектора \(\mathbf{a1c1}\)
\(m\) - точка, где выполняется равенство векторов

Шаг 2: Запись равенства векторов
Запишем данное равенство векторов: \(\mathbf{bm} = \mathbf{ba} + \mathbf{c1b1} + \mathbf{a1c1}\)

Шаг 3: Замена векторов
Заменим векторы их координатами:
\(\mathbf{bm} = \mathbf{bm_x}\mathbf{i} + \mathbf{bm_y}\mathbf{j} + \mathbf{bm_z}\mathbf{k}\)
\(\mathbf{ba} = \mathbf{ba_x}\mathbf{i} + \mathbf{ba_y}\mathbf{j} + \mathbf{ba_z}\mathbf{k}\)
\(\mathbf{c1b1} = \mathbf{c1b1_x}\mathbf{i} + \mathbf{c1b1_y}\mathbf{j} + \mathbf{c1b1_z}\mathbf{k}\)
\(\mathbf{a1c1} = \mathbf{a1c1_x}\mathbf{i} + \mathbf{a1c1_y}\mathbf{j} + \mathbf{a1c1_z}\mathbf{k}\)

Шаг 4: Запись координат
Запишем координаты векторов:

\[
\begin{align*}
\mathbf{bm_x} &= \mathbf{m_x} - \mathbf{b_x} \\
\mathbf{bm_y} &= \mathbf{m_y} - \mathbf{b_y} \\
\mathbf{bm_z} &= \mathbf{m_z} - \mathbf{b_z} \\
\mathbf{ba_x} &= \mathbf{a_x} - \mathbf{b_x} \\
\mathbf{ba_y} &= \mathbf{a_y} - \mathbf{b_y} \\
\mathbf{ba_z} &= \mathbf{a_z} - \mathbf{b_z} \\
\mathbf{c1b1_x} &= \mathbf{b1_x} - \mathbf{c1_x} \\
\mathbf{c1b1_y} &= \mathbf{b1_y} - \mathbf{c1_y} \\
\mathbf{c1b1_z} &= \mathbf{b1_z} - \mathbf{c1_z} \\
\mathbf{a1c1_x} &= \mathbf{c1_x} - \mathbf{a1_x} \\
\mathbf{a1c1_y} &= \mathbf{c1_y} - \mathbf{a1_y} \\
\mathbf{a1c1_z} &= \mathbf{c1_z} - \mathbf{a1_z} \\
\end{align*}
\]

Шаг 5: Запись равенства координат
Теперь можем записать равенство координат:
\(\mathbf{bm_x}\mathbf{i} + \mathbf{bm_y}\mathbf{j} + \mathbf{bm_z}\mathbf{k} = \mathbf{ba_x}\mathbf{i} + \mathbf{ba_y}\mathbf{j} + \mathbf{ba_z}\mathbf{k} + \mathbf{c1b1_x}\mathbf{i} + \mathbf{c1b1_y}\mathbf{j} + \mathbf{c1b1_z}\mathbf{k} + \mathbf{a1c1_x}\mathbf{i} + \mathbf{a1c1_y}\mathbf{j} + \mathbf{a1c1_z}\mathbf{k}\)

Шаг 6: Решение уравнения
Теперь сложим соответствующие координаты с обеих сторон уравнения:
\(\mathbf{bm_x}\mathbf{i} + \mathbf{bm_y}\mathbf{j} + \mathbf{bm_z}\mathbf{k} = \mathbf{ba_x}\mathbf{i} + \mathbf{ba_y}\mathbf{j} + \mathbf{ba_z}\mathbf{k} + \mathbf{c1b1_x}\mathbf{i} + \mathbf{c1b1_y}\mathbf{j} + \mathbf{c1b1_z}\mathbf{k} + \mathbf{a1c1_x}\mathbf{i} + \mathbf{a1c1_y}\mathbf{j} + \mathbf{a1c1_z}\mathbf{k}\)

\((\mathbf{bm_x} - \mathbf{ba_x} - \mathbf{c1b1_x} - \mathbf{a1c1_x})\mathbf{i} + (\mathbf{bm_y} - \mathbf{ba_y} - \mathbf{c1b1_y} - \mathbf{a1c1_y})\mathbf{j} + (\mathbf{bm_z} - \mathbf{ba_z} - \mathbf{c1b1_z} - \mathbf{a1c1_z})\mathbf{k} = \mathbf{0}\)

Таким образом, получим следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
\mathbf{bm_x} - \mathbf{ba_x} - \mathbf{c1b1_x} - \mathbf{a1c1_x} &= 0 \\
\mathbf{bm_y} - \mathbf{ba_y} - \mathbf{c1b1_y} - \mathbf{a1c1_y} &= 0 \\
\mathbf{bm_z} - \mathbf{ba_z} - \mathbf{c1b1_z} - \mathbf{a1c1_z} &= 0 \\
\end{align*}
\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения координат точки \(\mathbf{m}\), где выполняется равенство векторов \(\mathbf{bm} = \mathbf{ba} + \mathbf{c1b1} + \mathbf{a1c1}\).