В остроугольном треугольнике ABC, высоты AA1 и CC1 проведены. Окружность ω пересекает прямую A1C1 в точках X

Solnce_Nad_Okeanom

25

Давайте рассмотрим каждое утверждение по очереди:

1) Верно. Поскольку A1C1 является высотой треугольника ABC, то она перпендикулярна стороне AC. Так как треугольник ABC остроугольный, все его высоты перпендикулярны к основанию, значит, прямая A1C1 и AC параллельны углу ABC.

2) Ложно. Прямая XZ проходит через точку Z и является касательной к окружности ω. Но BC1 - это прямая, а не угол, поэтому они не могут быть параллельными друг другу.

3) Верно. Касательная BY проходит через точку Y и является касательной к окружности ω. Ранее мы уже доказали, что прямая XZ также является касательной к окружности ω. Поскольку касательные к одной и той же окружности из одной и той же точки параллельны, прямая XZ и BY параллельны углу BXY.

4) Ложно. Точка B точно лежит на окружности ω, но мы не знаем, является ли она серединой дуги XY. Это требует дополнительного доказательства.

5) Верно. Касательная в точке B к окружности ω является перпендикуляром к радиусу, проведенному из центра окружности в точку B. Поскольку радиус перпендикулярен диаметру (прямой A1C1), то касательная в точке B параллельна прямой A1C1.

6) Ложно. Четырёхугольники ZBC1Y и ZBA1X могут быть вписанными только тогда, когда их противоположные углы смежных сторон равны, что не является обязательным условием для данных четырехугольников.

7) Ложно. Мы не можем сделать вывод о перпендикулярности прямой AB и XZ, поскольку нет достаточной информации о геометрических связях между ними.

Итак, верными утверждениями являются только 1 и 5.