В параллелограмме ABCD, точки E и F - середины сторон AD и CD соответственно. Отрезок BF пересекает диагональ

Эмилия

37

Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, зная площадь четырехугольника AGHE, мы можем использовать свойство параллелограмма, что диагонали делят его на два равных по площади треугольника.

Постепенное решение:
1. Дано, что точки E и F - середины сторон AD и CD соответственно. Это означает, что отрезки AE и CF также равны по длине.

2. Также дано, что отрезок BF пересекает диагональ AC и отрезок CE в точках G и H соответственно.

3. Положим, что площадь четырехугольника AGHE равна S.

4. Поскольку отрезки AE и CF равны, то отрезки BG и DH тоже равны (по свойству параллелограмма).

5. Поэтому площади треугольников CBG и HDA равны между собой и равны половине площади четырехугольника AGHE. То есть, площадь треугольника CBG равна площади треугольника HDA, и обе равны S/2.

6. Также заметим, что площади треугольников ABG и CHD равны. Ведь эти треугольники имеют равные высоты (высота относительно сторон AB и CH соответственно), а основания треугольников равны в силу равенства отрезков BG и DH.

7. Значит, площадь треугольника ABG равна площади треугольника CHD и равна S/2.

8. Итак, площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей треугольников CBG, HDA, ABG и CHD. Подставляя значения, получаем, что площадь параллелограмма ABCD равна S/2 + S/2 + S/2 + S/2 = 2S.

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 2S, где S - площадь четырехугольника AGHE.