 В последовательности уn=24 n +36-5 n2: а) Каково количество положительных членов? б) Какой является максимальный член

Yahont_4448

15

Давайте решим задачу поэтапно.

a) Для определения количества положительных членов в последовательности уn=24n+36-5n^2, мы должны проанализировать знак каждого члена последовательности. Чтобы найти положительные члены, мы должны найти значения n, при которых уn > 0.

Уравнение уn = 24n + 36 - 5n^2 можно переписать в виде уn = -5n^2 + 24n + 36. Для того чтобы найти значения n, при которых уn > 0, возьмем во внимание полином -5n^2 + 24n + 36.

Мы можем решить это квадратное уравнение, найдя корни. Сначала найдем дискриминант, который равен D = b^2 - 4ac, где a = -5, b = 24 и c = 36.

D = 24^2 - 4*(-5)*36
D = 576 + 720
D = 1296

Так как дискриминант D больше нуля, у нас есть два различных корня. Найдем эти корни с помощью формулы корней квадратного уравнения: n = (-b ± √D) / (2a).

n1 = (24 + √1296) / (2*(-5))
n1 = (24 + 36) / -10
n1 = 60 / -10
n1 = -6

n2 = (24 - √1296) / (2*(-5))
n2 = (24 - 36) / -10
n2 = -12 / -10
n2 = 1.2

Итак, у нас есть два корня, n1 = -6 и n2 = 1.2. Мы знаем, что последовательность состоит из целых чисел, поэтому каждая целая часть положительного значения n будет создавать положительный член в последовательности.

Таким образом, количество положительных членов в последовательности равно количеству целых чисел от -6 до 1, включая эти числа. Подсчитаем их количество:

-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1

Всего 8 положительных членов.

б) Чтобы найти максимальный член последовательности, мы должны найти значение n, которое приведет к наибольшему значению уn. В этом случае, чтобы найти максимальный член последовательности, мы можем взять производную от уравнения уn = 24n + 36 - 5n^2 и приравнять ее к нулю.

Уравнение уn = 24n + 36 - 5n^2 можно записать в виде уn = -5n^2 + 24n + 36. Чтобы найти максимальный член, возьмем производную от этого уравнения:

у"n = -10n + 24

Приравняем производную к нулю и найдем n:

-10n + 24 = 0
-10n = -24
n = 24 / 10
n = 2.4

Так как последовательность состоит только из целых чисел, мы округлим значение n до ближайшего целого числа:

n = 2

Подставим это значение n в уравнение уn = 24n + 36 - 5n^2:

у2 = 24*2 + 36 - 5*2^2
у2 = 48 + 36 - 5*4
у2 = 48 + 36 - 20
у2 = 64

Таким образом, максимальный член последовательности равен 64.

в) Чтобы узнать, существует ли в последовательности минимальный член, мы должны привести уравнение уn к каноническому виду и проанализировать его. В данном случае, ун = 24n + 36 - 5n^2 уже находится в каноническом виде.

Поскольку это парабола с коэффициентом при старшей степени отрицательным (коэффициент -5), она открывается вниз и имеет вершину в точке с наименьшим значением у.

Так как унарный коэффициент отрицательный, это означает, что парабола стремится к минус бесконечности на бесконечности. То есть парабола не имеет нижнего предела, и следовательно, в последовательности нет минимального члена.

Таким образом, в данной последовательности отсутствует минимальный член.