В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вершина D является началом координат. Ребра DC, DA и DD1 лежат на осях

Zagadochnyy_Elf

38

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для длины вектора в трехмерном пространстве. Длину вектора можно найти по формуле:

\[
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{{x}^2 + {y}^2 + {z}^2}
\]

где \({x}\), \({y}\), и \({z}\) - координаты вектора \(\mathbf{v}\).

а) Для нахождения длины вектора \(\overrightarrow{DB}\), нам нужно найти его координаты. В данном случае начало вектора - точка D(0, 0, 0), а конец - точка B(x, y, z). Так как вершина D является началом координат, координаты точки B(x, y, z) будут (x, y, z).

Так как отрезок DB лежит на оси Ох, ему соответствует координата z = 0. Также известно, что длина отрезка DC равна 4, поэтому координата x будет равна 4, а координата y - 0.

Таким образом, координаты точки B равны (4, 0, 0). Подставляя эти значения в формулу для длины вектора, получаем:

\[
\|\overrightarrow{DB}\| = \sqrt{{4}^2 + {0}^2 + {0}^2} = \sqrt{16} = 4
\]

Длина вектора \(\overrightarrow{DB}\) равна 4.

б) Для нахождения длины вектора \(\overrightarrow{DA1}\), нам также нужно найти его координаты. В данном случае начало вектора - точка D(0, 0, 0), а конец - точка A1(x, y, z).

Так как вершина D является началом координат, координаты точки A1(x, y, z) будут (x, y, z).

Так как отрезок DA1 лежит на оси Oy, ему соответствует координата x = 0. Также известно, что длина отрезка DA равна 3, поэтому координата y будет равна 3, а координата z - 0.

Таким образом, координаты точки A1 равны (0, 3, 0). Подставляя эти значения в формулу для длины вектора, получаем:

\[
\|\overrightarrow{DA1}\| = \sqrt{{0}^2 + {3}^2 + {0}^2} = \sqrt{9} = 3
\]

Длина вектора \(\overrightarrow{DA1}\) равна 3.

в) Для нахождения длины вектора \(\overrightarrow{DC1}\), нам также нужно найти его координаты. В данном случае начало вектора - точка D(0, 0, 0), а конец - точка C1(x, y, z).

Так как вершина D является началом координат, координаты точки C1(x, y, z) будут (x, y, z).

Так как отрезок DC1 лежит на оси Oz, ему соответствует координата x = 0. Также известно, что длина отрезка DD1 равна 2, поэтому координата z будет равна 2, а координата y - 0.

Таким образом, координаты точки C1 равны (0, 0, 2). Подставляя эти значения в формулу для длины вектора, получаем:

\[
\|\overrightarrow{DC1}\| = \sqrt{{0}^2 + {0}^2 + {2}^2} = \sqrt{4} = 2
\]

Длина вектора \(\overrightarrow{DC1}\) равна 2.

Таким образом, ответы на задачу:

а) Длина вектора DB = 4
б) Длина вектора DA1 = 3
в) Длина вектора DC1 = 2