В прямоугольном треугольнике ABC, проведена высота CH, относящаяся к гипотенузе. Необходимо найти значения недостающих

Рак_6496

66

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойством прямоугольного треугольника.

1. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется соотношение: \(c^2 = a^2 + b^2\).

2. Из условия задачи мы знаем, что AB = 100 и BH = 36.

3. Обозначим BC = x, AC = y и CH = z.

4. Рассмотрим треугольник ABC. Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:
\[AB^2 = BC^2 + AC^2\]

Подставляем известные значения:
\[100^2 = x^2 + y^2\]

Получаем уравнение (1):

\[10000 = x^2 + y^2\]

5. Рассмотрим треугольник BHC. Так как BH — высота, а CH — отрезок гипотенузы, применим свойство прямоугольного треугольника:
\[BH \cdot CH = HC^2\]

Подставляем известные значения:
\[36 \cdot z = z^2\]

Получаем уравнение (2):

\[36z = z^2\]

6. Решим уравнение (2) относительно z, зная, что его решение будет выражать CH.
Перенесем все члены уравнения влево и получаем:
\[z^2 - 36z = 0\]

Факторизуем левую часть уравнения и получаем:
\[z(z - 36) = 0\]

Решениями этого уравнения являются z = 0 и z - 36 = 0. Очевидно, что z не может быть равно 0, так как это длина высоты. Итак, остается:
\[z - 36 = 0\]

Решим это уравнение и найдем значение z:
\[z = 36\]

Итак, мы определили значение CH: CH = 36.

7. Обратимся к уравнению (1). Решим его относительно x, зная, что его решение будет выражать BC:

Подставляем значение y:
\[10000 = x^2 + (36)^2\]

Решаем это уравнение и находим значение x:
\[x^2 = 10000 - 1296\]
\[x^2 = 8704\]
\[x = \sqrt{8704}\]
\[x \approx 93.33\]

Итак, мы нашли значение BC: BC ≈ 93.33.

8. Теперь, зная значение BC = 93.33 и CH = 36, можно найти значение AC.

Воспользуемся теоремой Пифагора:
\[AC^2 = AB^2 - BC^2\]
\[AC^2 = 10000 - (93.33)^2\]
\[AC^2 = 10000 - 8704\]
\[AC^2 = 1296\]
\[AC = \sqrt{1296}\]
\[AC = 36\]

Итак, мы нашли значение AC: AC = 36.

Таким образом, значения недостающих элементов прямоугольного треугольника ABC равны: BC ≈ 93.33, AC = 36 и CH = 36.