В прямой призме с основаниями abca1b1c1, все ребра оснований равны 156, а длина бокового ребра aa1 равна 78. Точка

Артемович

8

Для доказательства того, что ребро bm перпендикулярно плоскости \(\beta\), мы можем воспользоваться двумя свойствами параллельных плоскостей.

Свойство 1: Если плоскость \(P_1\) параллельна плоскости \(P_2\) и проходит через одну из прямых, лежащих в \(P_2\), то она проходит через все прямые, параллельные этой прямой, и лежащие в \(P_2\).

Свойство 2: Если плоскость \(P_1\) параллельна плоскости \(P_2\) и пересекает прямую, лежащую в \(P_2\), то она пересекает все прямые, параллельные этой прямой, и лежащие в \(P_2\).

Используя данные из условия задачи, покажем, что ребро bm действительно перпендикулярно плоскости \(\beta\).

1) Ребро aa1 равно 78, а ребра оснований прямой призмы равны 156. Так как точка k лежит на ребре ab и ak равно 52, то отрезки kb и ka тоже равны 52.
2) Также известно, что a1m равно mc1. Обозначим длину отрезка a1m как x. Тогда, длина отрезка mc1 также равна x.
3) Заметим, что точка k лежит на плоскости, параллельной плоскости, содержащей ребро ac, также как и точка l. Это означает, что прямые ak и b1l параллельны и лежат в плоскости \(\beta\).
4) Из свойства 1 следует, что прямые ak и kb также лежат в плоскости \(\beta\).
5) Также из свойства 1 следует, что прямые a1m и mc1 лежат в плоскости \(\beta\).
6) Так как точка k лежит на прямой ak, параллельной прямой a1m, и в плоскости \(\beta\), то прямые ak и a1m пересекаются в точке k, которая также лежит в плоскости \(\beta\).
7) Аналогично, так как точка l лежит на прямой b1l, параллельной прямой mc1, и в плоскости \(\beta\), то прямые b1l и mc1 пересекаются в точке l, которая также лежит в плоскости \(\beta\).
8) Теперь рассмотрим прямую bm. Из свойства 2 следует, что если прямая bm пересекает прямую ak в точке k и лежит в плоскости, содержащей ребро aa1, то она также пересекает прямую a1m в точке m и лежит в плоскости, содержащей ребро a1c1. То есть, прямая bm пересекает прямую a1m в точке m и лежит в плоскости, содержащей ребро a1c1.
9) Так как точка m лежит на прямой a1m, параллельной прямой mc1, и в плоскости \(\beta\), то прямые a1m и mc1 пересекаются в точке m, которая также лежит в плоскости \(\beta\).
10) Из пунктов 8 и 9 следует, что прямая bm пересекает прямую a1m в точке m, которая лежит в плоскости \(\beta\).
11) Так как прямая bm пересекает прямую a1m в точке m и лежит в плоскости \(\beta\), то она пересекает все прямые, параллельные прямой a1m, и лежащие в плоскости \(\beta\).
12) Из свойства 1 следует, что прямая bm пересекает прямую mc1 в точке m и лежит в плоскости \(\beta\).
13) Из пунктов 10 и 12 следует, что прямая bm пересекает прямую mc1 в точке m, которая лежит в плоскости \(\beta\).
14) Следовательно, прямая bm пересекает все прямые, параллельные прямой mc1, и лежащие в плоскости \(\beta\).
15) Из свойства 2 следует, что прямая bm пересекает прямую kb в точке b, которая также лежит в плоскости \(\beta\).
16) Таким образом, мы доказали, что прямая bm пересекает все прямые, параллельные прямой kb, и лежащие в плоскости \(\beta\).
17) Из свойства 2 следует, что прямая bm пересекает прямую b1l в точке l, которая лежит в плоскости \(\beta\).
18) Значит, прямая bm пересекает все прямые, параллельные прямой b1l, и лежащие в плоскости \(\beta\).
19) Так как прямая bm пересекает все прямые, параллельные прямой a1m и b1l, и лежащие в плоскости \(\beta\), то она также пересекает все прямые, лежащие в плоскости \(\beta\).
20) Так как все прямые, лежащие в плоскости \(\beta\), пересекаются с прямой bm, то мы можем сделать вывод, что прямая bm пересекает все прямые, лежащие в плоскости \(\beta\).
21) Из свойства 1 следует, что если прямая bm пересекает все прямые, лежащие в плоскости \(\beta\), то она перпендикулярна этой плоскости.
22) Таким образом, мы доказали, что ребро bm перпендикулярно плоскости \(\beta\).

Вот таким образом, мы выполнили доказательство и показали, что ребро bm действительно перпендикулярно плоскости \(\beta\).