В течение определенного периода времени t было эксплуатировано 500 приборов. Каждый из этих приборов имеет вероятность

Hrustal

18

Для решения данной задачи воспользуемся неравенством Чебышева, которое позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Доля надежных приборов представляет собой случайную величину, обозначим ее через X. Ее математическое ожидание равно вероятности надежной работы, то есть \( \mu = 0.98 \).

Неравенство Чебышева формулируется следующим образом:
\[ P(|X-\mu| \geq k \cdot \sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]
где \( \sigma \) - среднеквадратическое отклонение случайной величины, \( k \) - положительное число.

Для решения задачи требуется оценить вероятность отклонения доли надежных приборов от вероятности надежной работы более чем на 0.1, то есть нужно найти вероятность:
\[ P(|X-0.98| \geq 0.1) \]

Сначала найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X. Для этого воспользуемся формулой:
\[ \sigma = \sqrt{p(1-p)} \]
где \( p \) - вероятность надежной работы, то есть \( p = 0.98 \).

Подставим значения в формулу и вычислим:
\[ \sigma = \sqrt{0.98 \cdot (1-0.98)} = \sqrt{0.98 \cdot 0.02} = \sqrt{0.0196} \approx 0.140 $.

Теперь найдем вероятность отклонения доли надежных приборов на 0.1 или более:
\[ P(|X-0.98| \geq 0.1) \]

Подставляем значения в неравенство Чебышева:
\[ \frac{1}{k^2} \geq P(|X-0.98| \geq 0.1) \]

Для того, чтобы вероятность не превышала заданный уровень, выберем достаточно большое значение \( k \). Допустим, мы возьмем \( k = 3 \), тогда:
\[ \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \geq P(|X-0.98| \geq 0.1) \]

Таким образом, с помощью неравенства Чебышева мы можем определить, что вероятность того, что доля надежных приборов отличается от 0.98 не более, чем на 0.1, составляет не более \( \frac{1}{9} \), или около \( 0.111 \) (11.1%).