В точке а, совпадающей с четвертой вершиной квадрата, расположены длинные прямые проводники, по которым течет ток

Ябедник_767

36

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа. Этот закон относится к магнитному полю, создаваемому проводниками, по которым течет электрический ток. Формула закона Био-Савара-Лапласа для элементарного проводника \(dl\) с током \(I\) выглядит следующим образом:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

Где:
- \(d\vec{B}\) - элементарное магнитное поле, создаваемое элементарным проводником
- \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) Тл/Ам)
- \(I\) - ток в проводнике
- \(d\vec{l}\) - элемент проводника, через который протекает ток
- \(\vec{r}\) - радиус-вектор, определяющий расстояние от элемента проводника до точки, в которой ищется магнитное поле
- \(r\) - расстояние от элемента проводника до точки, в которой ищется магнитное поле

Сначала определим силу тока \(i_1\). Мы знаем, что индукция магнитного поля в точке \(а\) равна 11,3 х 10^-5 Тл и увеличивается в 2 раза, когда мы меняем направление тока \(i_2\) на противоположное. Из формулы закона Био-Савара-Лапласа мы можем сделать вывод, что индукция магнитного поля зависит от суммы магнитных полей, создаваемых токами \(i_1\) и \(i_2\). Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{i_1}}{{a^2}} + \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{-i_2}}{{a^2}} = 2 \cdot \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \cdot \frac{{i_1 + i_2}}{{a^2}} = 2 \cdot 11,3 \times 10^{-5}\]

Отсюда получаем:

\[2 \cdot \frac{{i_1 + 20}}{{a^2}} = 2 \cdot 11,3 \times 10^{-5}\]

Теперь найдем длину стороны квадрата. Для этого воспользуемся геометрическими свойствами квадрата. Мы знаем, что одна из сторон квадрата проходит через точку \(а\), где находятся проводники. Также, т.к. длины прямых проводников равны, они проходят через две другие вершины квадрата. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной стороне квадрата, и катетами, равными длинам прямых проводников.

Мы можем записать уравнение для этого треугольника, используя теорему Пифагора:

\[a^2 = b^2 + c^2\]

Так как длины прямых проводников одинаковы и равны \(l\), мы можем записать:

\[a^2 = l^2 + l^2 = 2l^2\]

Отсюда:

\[l = \sqrt{\frac{{a^2}}{{2}}}\]

Теперь мы можем объединить оба уравнения и решить систему уравнений относительно \(a\) и \(i_1\). Подставим \(l = \sqrt{\frac{{a^2}}{{2}}}\) в уравнение:

\[2 \cdot \frac{{i_1 + 20}}{{\frac{{a^2}}{{2}}}} = 2 \cdot 11,3 \times 10^{-5}\]

Сократим двойки:

\[\frac{{i_1 + 20}}{{\frac{{a^2}}{{2}}}} = 11,3 \times 10^{-5}\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{{a^2}}{{2}}\):

\[i_1 + 20 = 11,3 \times 10^{-5} \cdot \frac{{a^2}}{{2}}\]

Теперь из уравнения \(a^2 = 2l^2\) получаем:

\[a^2 = 2 \cdot \left(\sqrt{\frac{{a^2}}{{2}}}\right)^2 = \frac{{a^2}}{{2}}\]

Сократим \(a^2\):

\[1 = \frac{{a^2}}{{2}}\]

Из этого уравнения получаем:

\[a^2 = 2\]

Отсюда:

\[a = \sqrt{2}\]

Теперь вернемся к уравнению для \(i_1\) и подставим \(a = \sqrt{2}\):

\[i_1 + 20 = 11,3 \times 10^{-5} \cdot \frac{{(\sqrt{2})^2}}{{2}} = 11,3 \times 10^{-5} \cdot 1 = 11,3 \times 10^{-5}\]

Вычтем 20 из обеих частей:

\[i_1 = 11,3 \times 10^{-5} - 20 = -19,9998867\]

С учетом того, что значения токов \(i_1\) и \(i_3\) одинаковы, мы можем сказать, что \(i_1 = i_3 = -19,9998867\) Ампер.

Таким образом, длина стороны квадрата \(a\) равна \(\sqrt{2}\), а сила тока \(i_1\) (а также \(i_3\)) равна -19,9998867 Ампер. Обратите внимание, что значение силы тока отрицательное, что означает, что токи \(i_1\) и \(i_3\) направлены в противоположных направлениях.