Какова скорость спутника при движении по окружности на высоте r над поверхностью планеты, если спутник движется вблизи

Solnechnyy_Bereg

66

Для решения этой задачи обратимся к закону всемирного тяготения и кинематике.

Согласно закону всемирного тяготения, на спутник действует сила тяготения со стороны планеты, которая направлена к центру планеты. Следовательно, для спутника, движущегося по окружности, сила тяготения будет служить центростремительной силой.

Центростремительная сила определяется следующим образом:
\[F_c = m \cdot \omega^2 \cdot r,\]
где \(F_c\) - центростремительная сила, \(m\) - масса спутника, \(\omega\) - угловая скорость спутника, \(r\) - радиус окружности.

Спутник движется по окружности радиусом \(r\) с постоянной скоростью \(v\). Так как спутник двигается с постоянной скоростью, центростремительная сила равна силе тяготения:
\[F_c = F_g,\]
где \(F_g\) - сила тяготения.

Сила тяготения определяется следующим образом:
\[F_g = \frac{G \cdot m \cdot M}{r^2},\]
где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты.

Из равенства центростремительной силы и силы тяготения получаем:
\[m \cdot \omega^2 \cdot r = \frac{G \cdot m \cdot M}{r^2}.\]

Масса спутника \(m\) сокращается, и мы получаем:
\[\omega^2 \cdot r = \frac{G \cdot M}{r^2}.\]

Угловая скорость спутника \(\omega\) определяется следующим образом:
\[\omega = \frac{v}{r},\]
где \(v\) - линейная скорость спутника.

Подставим это выражение для угловой скорости в предыдущее уравнение:
\[\left(\frac{v}{r}\right)^2 \cdot r = \frac{G \cdot M}{r^2}.\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[\frac{v^2}{r} = \frac{G \cdot M}{r^2}.\]

Умножим обе части уравнения на \(r\), чтобы избавиться от знаменателя:
\(v^2 = \frac{G \cdot M}{r}.\)

Теперь найдем скорость спутника \(v\):
\[v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}.\]

Таким образом, скорость спутника при движении по окружности на высоте \(r\) над поверхностью планеты равна \(\sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}\), где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты.