В треугольнике ABC соотношение катета и гипотенузы равно 32/68. Чему равен отношение противоположнего катета

Lebed

51

Для решения данной задачи, нам изначально дано, что соотношение катета и гипотенузы треугольника ABC равно \( \frac{32}{68} \). Мы обозначим противоположный катет буквой \( a \), а гипотенузу - буквой \( h \). Нашей целью является определить значение отношения противоположного катета к гипотенузе, то есть, найти значение \( \frac{a}{h} \).

Используем теорему Пифагора для нахождения отношения противоположного катета к гипотенузе:

\[ a^2 + (32)^2 = h^2 \]

Также, дано, что соотношение катета и гипотенузы равно \( \frac{32}{68} \), что можно записать в виде

\[ \frac{a}{h} = \frac{32}{68} \]

Далее, мы можем использовать данное соотношение для выражения противоположного катета через гипотенузу:

\[ a = \frac{32h}{68} \]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение Пифагора:

\[ \left(\frac{32h}{68}\right)^2 + (32)^2 = h^2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ \frac{1024h^2}{4624} + 1024 = h^2 \]

Умножим обе части уравнения на 4624, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 1024h^2 + 1024 \cdot 4624 = 4624h^2 \]

\[ 1024 \cdot 4624 = 4624h^2 - 1024h^2 \]

\[ 4726784 = 3600h^2 \]

Теперь разделим обе части уравнения на 3600, чтобы выразить \( h^2 \):

\[ \frac{4726784}{3600} = h^2 \]

\[ h^2 = \frac{1313}{25} \]

Далее, возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[ h = \sqrt{\frac{1313}{25}} \]

\[ h = \frac{\sqrt{1313}}{\sqrt{25}} \]

\[ h = \frac{\sqrt{1313}}{5} \]

Теперь, мы можем выразить значение противоположного катета \( a \) через \( h \):

\[ a = \frac{32h}{68} \]

\[ a = \frac{32 \cdot \frac{\sqrt{1313}}{5}}{68} \]

\[ a = \frac{32 \sqrt{1313}}{340} \]

Таким образом, отношение противоположного катета \( a \) к гипотенузе \( h \) равно:

\[ \frac{a}{h} = \frac{\frac{32 \sqrt{1313}}{340}}{\frac{\sqrt{1313}}{5}} \]

\[ \frac{a}{h} = \frac{32 \sqrt{1313}}{340} \cdot \frac{5}{\sqrt{1313}} \]

\[ \frac{a}{h} = \frac{32 \cdot 5}{340} \]

\[ \frac{a}{h} = \frac{160}{340} \]

\[ \frac{a}{h} = \frac{8}{17} \]

Таким образом, отношение противоположного катета к гипотенузе равно \( \frac{8}{17} \).