5. Каковы значения сторон треугольников МОК и ВОС, которые равны 9, 6, 8, 12 и 18 соответственно? Каково отношение

Mariya

65

Давайте решим первую задачу. У нас есть два треугольника: треугольник МОК и треугольник ВОС. Значения их сторон даны следующим образом:

Треугольник МОК: \(МО = 9\), \(ОК = 6\) и \(МК = 8\).
Треугольник ВОС: \(ВО = 12\), \(ОС = 18\) и \(ВС = 18\).

Чтобы найти отношение площадей этих треугольников, нам необходимо использовать формулу для площади треугольника:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота}.\]

В треугольнике МОК мы можем выбрать любую сторону в качестве основания, а затем найти соответствующую высоту. Давайте выберем сторону МО в качестве основания треугольника МОК и найдем его высоту. Для этого мы можем использовать формулу для высоты треугольника:

\[Высота = \sqrt{(\text{Полупериметр}) \times (\text{Полупериметр} - \text{Сторона 1}) \times (\text{Полупериметр} - \text{Сторона 2}) \times (\text{Полупериметр} - \text{Сторона 3})}.\]

Подставим значения сторон треугольника МОК в эту формулу:

\[\text{Полупериметр} = \frac{МО + ОК + МК}{2} = \frac{9 + 6 + 8}{2} = 11.5\]
\[Высота = \sqrt{(11.5) \times (11.5 - 9) \times (11.5 - 6) \times (11.5 - 8)} \approx 5.15.\]

Теперь, когда у нас есть высота и основание треугольника МОК, мы можем найти его площадь:

\[Площадь_{МОК} = \frac{1}{2} \times 9 \times 5.15 \approx 23.18.\]

Точно так же, используя аналогичные шаги, мы можем найти площадь треугольника ВОС. Высота треугольника ВОС равна:

\[Высота_{ВОС} = \sqrt{(Полупериметр_{ВОС}) \times (Полупериметр_{ВОС} - ВО) \times (Полупериметр_{ВОС} - ОС) \times (Полупериметр_{ВОС} - ВС)}.\]

Подставим значения сторон треугольника ВОС:

\[\text{Полупериметр}_{ВОС} = \frac{ВО + ОС + ВС}{2} = \frac{12 + 18 + 18}{2} = 24.\]
\[Высота_{ВОС} = \sqrt{(24) \times (24 - 12) \times (24 - 18) \times (24 - 18)} = 12.\]

Площадь треугольника ВОС равна:

\[Площадь_{ВОС} = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72.\]

Теперь, чтобы найти отношение площадей этих треугольников, мы разделим площадь треугольника МОК на площадь треугольника ВОС:

\[\text{Отношение площадей} = \frac{Площадь_{МОК}}{Площадь_{ВОС}} = \frac{23.18}{72} \approx 0.32.\]

Отношение площадей треугольников МОК и ВОС равно примерно 0.32.

Теперь перейдем ко второй задаче. У нас есть четырехугольник АВМК, где АМ и ВК - медианы треугольника АВС. Для определения типа этого четырехугольника нам нужно знать, как соотносятся медианы треугольника и его стороны. В случае, если медианы треугольника делятся в отношении 2:1 (то есть медиана делит соответствующую сторону треугольника на две части, причем одна часть больше второй в два раза), треугольник является прямоугольным.

Найдем периметр четырехугольника АВМК. У нас уже есть значения сторон треугольника АВС: \(АВ = 14\), \(ВС = 12\) и \(АС = 18\).
Так как медианы треугольника делятся в отношении 2:1, мы можем использовать эту характеристику, чтобы найти стороны четырехугольника АВМК. Мы знаем, что медиана делит соответствующую сторону треугольника на две части, причем одна часть больше второй в два раза. Таким образом, \(АМ = \frac{1}{2}\times АС = \frac{1}{2}\times 18 = 9\) и \(ВК = \frac{1}{2}\times ВС = \frac{1}{2}\times 12 = 6\).

Теперь мы можем найти периметр четырехугольника АВМК. Периметр равен сумме длин всех его сторон:

\[Периметр_{четырехугольника} = АВ + ВМ + МК + КА = 14 + 9 + 6 + 14 = 43.\]

Периметр четырехугольника АВМК равен 43.

Касательно признаков подобия, два треугольника считаются подобными, если их соответствующие углы равны, а соотношение длин их сторон - постоянное число. В данной задаче мы рассматриваем медианы треугольника, поэтому признаки подобия треугольников АВС и АВМК основываются на свойствах медиан. Медианы делят каждый треугольник на шесть маленьких треугольников. В данном случае, треугольник АВС и треугольник АВМК имеют общую медиану, поэтому они подобны.

Вкратце, признаки подобия треугольников АВС и АВМК: равные углы и соотношение медиан в три раза меньше сторон треугольника.