В треугольнике АВС вектор АВ = 3е₁ - 4е₂, вектор АС = е₁ + 5е₂. Найдите длину вектора СН, который является высотой

Smurfik

19

Чтобы найти длину вектора CH, который является высотой треугольника ABC, нам нужно использовать свойство высоты, которое гласит, что произведение длины вектора высоты на длину вектора основания, прилегающего к этой высоте, равно минус произведению длин двух других векторов основания.

Итак, у нас есть следующие векторы:
AB = 3e₁ - 4e₂
AC = е₁ + 5e₂

Так как e₁ и e₂ - орты, перпендикулярные друг другу, то их скалярное произведение равно нулю:
e₁ • e₂ = 0

Разложим вектор AC на составляющие, параллельные e₁ и e₂:
AC = (AC • e₁)e₁ + (AC • e₂)e₂

Произведем необходимые вычисления:
AC • e₁ = (е₁ + 5e₂) • e₁ = e₁ • e₁ + 5e₂ • e₁ = 1
AC • e₂ = (е₁ + 5e₂) • e₂ = e₁ • e₂ + 5e₂ • e₂ = 5

Таким образом, вектор AC можно представить как:
AC = e₁ + 5e₂ = 1e₁ + 5e₂

Теперь, чтобы найти длину вектора CH (высоты треугольника ABC), мы будем использовать свойство высоты:

CH • AB = -AC • BC

Домножим наш вектор AB на -1, чтобы сделать его направление противоположным:
CH • (-AB) = -AC • BC

Теперь заменим векторы AB и AC на их значения:
CH • (-(3e₁ - 4e₂)) = -(1e₁ + 5e₂) • BC

Выполним необходимые вычисления:
CH • (-3e₁ + 4e₂) = -e₁ - 5e₂ • BC

CH • -3e₁ + CH • 4e₂ = -e₁ - 5e₂ • BC

(-3)(CH • e₁) + (4)(CH • e₂) = -1 - 5e₂ • BC

Так как e₁ и e₂ - орты, перпендикулярные друг другу, то их скалярное произведение равно нулю:
CH • e₁ = 0
CH • e₂ = 0

Теперь у нас остается только одно уравнение:
(-3)(0) + (4)(0) = -1 - 5e₂ • BC

0 + 0 = -1 - 5e₂ • BC

0 = -1 - 5e₂ • BC

Так как 5e₂ • BC - это скалярное произведение, а достаточно известны вектор BC и вектор e₂, скалярное произведение будет равно произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними:
5e₂ • BC = 5|e₂||BC|cos(θ)

Так как e₂ и BC перпендикулярны друг другу, угол между ними составляет 90 градусов, а cos(90) = 0:
5e₂ • BC = 5|e₂||BC|cos(90) = 0

Таким образом, наше уравнение принимает вид:
0 = -1 - 0

Это уравнение не имеет решений, так как оно приводит к невозможному выражению. Вектор CH не может быть определен, поскольку треугольник ABC представляет собой прямоугольный треугольник, где высота проходит через прямый угол и пересекает гипотенузу. Поэтому вектор CH перпендикулярен гипотенузе BC.