В треугольнике MNP на стороне NP имеется точка K, которая делит отрезок NK в отношении 2:1. Если векторы MN и MP заданы

Solnechnyy_Svet_8456

23

Для начала давайте построим рисунок, чтобы было нагляднее:

          M

         / \

       /     \

     a         b

   /             \

 N ---- K ------- P

Нам дано, что векторы MN и MP заданы как a и b соответственно.

Также нам известно, что точка K делит отрезок NK в отношении 2:1. Это означает, что отношение длины NK к длине MK равно 2:1. Мы можем использовать эту информацию для нахождения вектора MK.

Для начала, найдем координаты точек M, N и P, используя заданные векторы a и b. Если предположить, что точка N имеет координаты (x₀, y₀), то координаты точки M будут (x₀ + a₁, y₀ + a₂), а координаты точки P будут (x₀ + b₁, y₀ + b₂).

Теперь рассмотрим отношение длин NK и MK. Отношение длин отрезков векторов соответствует отношению их компонент. Обозначим вектор MK как c = (c₁, c₂).

Тогда согласно заданному отношению 2:1, мы можем записать следующее:

\[\frac{{NK}}{{MK}} = \frac{{|c|}}{{|b - c|}} = \frac{{2}}{{1}}\]

Теперь возьмем модуль векторов b и c:

\[|b| = \sqrt{{b₁^2 + b₂^2}}\]
\[|c| = \sqrt{{c₁^2 + c₂^2}}\]

Подставим эти значения в уравнение:

\[\frac{{\sqrt{{c₁^2 + c₂^2}}}}{{\sqrt{{(b₁ - c₁)^2 + (b₂ - c₂)^2}}}} = \frac{{2}}{{1}}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[\frac{{c₁^2 + c₂^2}}{{(b₁ - c₁)^2 + (b₂ - c₂)^2}} = \frac{{4}}{{1}}\]

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

\[c₁^2 + c₂^2 = 4[(b₁ - c₁)^2 + (b₂ - c₂)^2]\]

Раскроем скобки:

\[c₁^2 + c₂^2 = 4(b₁^2 - 2b₁c₁ + c₁^2 + b₂^2 - 2b₂c₂ + c₂^2)\]

Упростим уравнение:

\[0 = 3c₁^2 + 3c₂^2 - 8b₁c₁ - 8b₂c₂ + 4(b₁^2 + b₂^2)\]

Распишем векторы b₁ и b₂ как сумму координат:

\[0 = 3c₁^2 + 3c₂^2 - 8b₁c₁ - 8b₂c₂ + 4(b₁^2 + b₂^2)\]
\[0 = 3c₁^2 + 3c₂^2 - 8(b₁(x₀ + a₁) + b₂(y₀ + a₂))c₁ - 8(b₁(x₀ + a₁) + b₂(y₀ + a₂))c₂ + 4(b₁^2 + b₂^2)\]

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно неизвестных c₁ и c₂. Если решим это уравнение, найдем значения c₁ и c₂. Итак, мы нашли вектор MK.