Какова площадь боковой поверхности пирамиды DABC при условии, что DO является перпендикуляром к (ABC)? В известных

Милашка

36

Для решения данной задачи нам потребуется использовать геометрические свойства пирамиды и теорему Пифагора.

Для начала, давайте разберемся, как найти высоту пирамиды \(DO\). Мы знаем, что \(OP\) равно \(63\sqrt{2}\), а также из условия перпендикулярности, что \(DP\) равно \(PC\). Если мы объединим отрезки \(DO\) и \(OP\), получится прямоугольный треугольник \(DOP\).

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:

\[\begin{align*}
DP^2 + OP^2 &= DO^2 \\
PC^2 + (63\sqrt{2})^2 &= DO^2 \\
PC^2 + 63^2 \cdot 2 &= DO^2 \\
PC^2 + 3969 &= DO^2 \\
PC^2 &= DO^2 - 3969
\end{align*}\]

Теперь, для того чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды \(DABC\), нам потребуется вычислить периметр основания пирамиды и высоту пирамиды.

Периметр основания \(ABC\) равен сумме длин всех его сторон. Мы знаем, что \(AB\) равно 18, и из условия задачи имеем \(BC = \frac{6}{\sqrt{3}}\), тогда \(AC = \frac{6}{\sqrt{3}}\), так как треугольник \(ABC\) является равносторонним. Следовательно, периметр основания равен:

\[P_{\text{осн}} = AB + BC + AC = 18 + \frac{6}{\sqrt{3}} + \frac{6}{\sqrt{3}}\]

Для нахождения высоты пирамиды \(h\), проведем высоту из вершины \(A\) к основанию \(BC\). Обозначим точку пересечения этой высоты с основанием \(BC\) как точку \(E\).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(ABC\):

\[AE^2 + EC^2 = AC^2\]

Так как треугольник \(ABC\) равносторонний, \(AE\) равняется высоте пирамиды \(h\). Мы знаем, что \(AC = \frac{6}{\sqrt{3}}\), поэтому:

\[h^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{3}} - EC\right)^2 = \left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2\]

Теперь, чтобы найти длину отрезка \(EC\), заметим, что треугольники \(DPC\) и \(DEC\) подобны, поскольку соответствующие углы равны (прямые углы).

Так как \(DP = PC\) из условия, то:

\[\frac{PC}{EC} = \frac{DP}{DC} \Rightarrow \frac{PC}{EC} = \frac{PC}{BC} \Rightarrow EC = BC\]

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

\[h^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{3}} - \frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2 = \left(\frac{6}{\sqrt{3}}\right)^2\]

Упростим это уравнение:

\[h^2 + 0 = \frac{36}{3}\]

\[h^2 = 12\]

\[h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть значения периметра основания \(P_{\text{осн}}\) и высоты пирамиды \(h\). Мы можем использовать эти значения для нахождения площади боковой поверхности \(S_{\text{пов}}\) путем применения формулы:

\[S_{\text{пов}} = \frac{P_{\text{осн}} \cdot h}{2}\]

Подставим значения:

\[S_{\text{пов}} = \frac{\left( 18 + \frac{6}{\sqrt{3}} + \frac{6}{\sqrt{3}} \right) \cdot (2\sqrt{3})}{2}\]

Упростим это выражение:

\[S_{\text{пов}} = \frac{\left( 18 + 2 \cdot \frac{6}{\sqrt{3}} \right) \cdot (2\sqrt{3})}{2}\]

\[S_{\text{пов}} = \frac{\left( 18 + \frac{12}{\sqrt{3}} \right) \cdot (2\sqrt{3})}{2}\]

\[S_{\text{пов}} = (9 + \frac{6}{\sqrt{3}}) \cdot (2\sqrt{3})\]

\[S_{\text{пов}} = 18\sqrt{3} + 12\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды \(DABC\) равна \(18\sqrt{3} + 12\).