В треугольнике MPK точки пересечения медиан MB и PA обозначены как О. PK имеет длину 20 см, а MB - 18 см. Выполните

Космический_Астроном

54

Давайте начнем с построения чертежа. Построим треугольник MPK, где точки M, P и K обозначены как вершины треугольника.

Следуя условию, давайте проведем медианы MB и PA. Медиана MB проходит через вершину M и середину стороны KP. Поэтому, чтобы построить медиану MB, найдем середину стороны KP, которая обозначена как точка O. Затем проведем прямую через точки M и O.

Теперь у нас есть треугольник MPK и точка O - точка пересечения медиан MB и PA.

а) Чтобы найти расстояние от точки P до точки AO (обозначим его как PAOP), нам дано, что расстояние от точки AO до точки PO составляет 4 см. Из чертежа видно, что треугольник AOP и треугольник KOP подобны, так как у них соответствующие углы равны. Зная это, мы можем провести пропорцию между их сторонами:

\(\frac{{PA}}{{PO}} = \frac{{AO}}{{KO}}\)

Заметим, что точка O является серединой стороны KP. Поэтому, чтобы найти расстояние KO, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике KMP:

\[KP^2 = MK^2 + MP^2\]

В условии задачи сказано, что длина стороны KP равна 20 см, а длина стороны MB равна 18 см. Таким образом, длина стороны MK равна половине стороны MB (так как точка O - середина стороны KP):

\[MK = \frac{{18 \, \text{см}}}{2} = 9 \, \text{см}\]

Теперь мы можем найти длину стороны MP с использованием теоремы Пифагора:

\[MP^2 = KP^2 - MK^2\]
\[MP^2 = 20^2 - 9^2\]
\[MP^2 = 400 - 81\]
\[MP^2 = 319\]
\[MP = \sqrt{319}\]

Теперь мы знаем длины сторон KP (20 см) и MP (\(\sqrt{319}\) см). Также нам известно, что расстояние от точки AO до точки PO составляет 4 см. Подставив значения в пропорцию и решив ее, мы можем найти длину стороны PA:

\(\frac{{PA}}{{4}} = \frac{{\sqrt{319}}}{{20 - 4}}\)
\(PA = \frac{{4(\sqrt{319})}}{{16}}\)
\(PA = \frac{{\sqrt{319}}}{4}\)

Таким образом, расстояние от точки P до точки AO (PAOP) равно \(\frac{{\sqrt{319}}}{4}\) см.

б) Чтобы найти площадь фигуры Spom, мы можем использовать формулу, которая связывает площади двух подобных фигур:

\(\frac{{S_{\text{pom}}}}{{S_{\text{mpk}}}} = \left(\frac{{\text{сторона} \, \text{фигуры} \, \text{Spom}}}{{\text{сторона} \, \text{фигуры} \, \text{Smpk}}}\right)^2\)

Из условия задачи нам известна площадь фигуры Smpk. Подставим значение в формулу и найдем площадь фигуры Spom:

\(\frac{{S_{\text{pom}}}}{{\text{Известная} \, S_{\text{mpk}}}} = \left(\frac{{\text{сторона} \, \text{фигуры} \, \text{Spom}}}{{\text{Известная} \, \text{сторона} \, \text{фигуры} \, \text{Smpk}}}\right)^2\)

Теперь мы должны найти соотношение сторон между фигурами Spom и Smpk. Из чертежа видно, что треугольники POM и MPK подобны (так как у них соответствующие углы равны). Поэтому соотношение сторон равно:

\(\frac{{\text{сторона} \, \text{фигуры} \, \text{Spom}}}{{\text{Известная} \, \text{сторона} \, \text{фигуры} \, \text{Smpk}}} = \frac{{PO}}{{MK}}\)

Мы уже знаем длину стороны MK (9 см), поэтому нам нужно найти длину стороны PO. Воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике KOP:

\[KP^2 = KO^2 + PO^2\]

Мы знаем, что длина стороны KP равна 20 см и расстояние от точки AO до точки PO составляет 4 см. Подставим значения в формулу и найдем длину стороны PO:

\[20^2 = 9^2 + PO^2\]
\[400 = 81 + PO^2\]
\[PO^2 = 400 - 81\]
\[PO^2 = 319\]
\[PO = \sqrt{319}\]

Теперь мы можем найти соотношение сторон между фигурами Spom и Smpk:

\(\frac{{\text{сторона} \, \text{фигуры} \, \text{Spom}}}{{\text{Известная} \, \text{сторона} \, \text{фигуры} \, \text{Smpk}}} = \frac{{\sqrt{319}}}{{9}}\)

Теперь, подставив это соотношение в формулу для площади, мы можем найти площадь фигуры Spom:

\(\frac{{S_{\text{pom}}}}{{\text{Известная} \, S_{\text{mpk}}}} = \left(\frac{{\sqrt{319}}}{{9}}\right)^2\)
\(S_{\text{pom}} = \text{Известная} \, S_{\text{mpk}} \times \left(\frac{{\sqrt{319}}}{{9}}\right)^2\)

Таким образом, мы можем найти площадь фигуры Spom, умножив известную площадь фигуры Smpk на значение \(\left(\frac{{\sqrt{319}}}{{9}}\right)^2\).