Каковы радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника abc, если данный треугольник вписан в окружность, а точки

Marina_913

50

Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся свойствами вписанных и описанных окружностей треугольника.

Для начала определим, что радиус вписанной окружности треугольника равен \( r \), а радиус описанной окружности равен \( R \).

Согласно свойствам вписанных окружностей, отрезки, соединяющие вершину треугольника с точками касания окружности со сторонами, являются радиусами окружности.

Обратим внимание, что \( ac_1 \), \( bc_1 \) и \( b_1c \) являются радиусами вписанной окружности треугольника \( ABC \), так как они перпендикулярны к соответствующим сторонам треугольника и проходят через точки касания.

Теперь давайте рассмотрим треугольник \( ABC \). По свойствам треугольника, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. В нашем случае, сумма отрезков \( ac_1 \) и \( bc_1 \) больше, чем \( b_1c \). Поэтому справедливо следующее неравенство:

\[ ac_1 + bc_1 > b_1c \]

Подставим известные значения в это неравенство:

\[ 7 + 6 > b_1c \]
\[ 13 > b_1c \]

Теперь давайте рассмотрим треугольник \( AB_1C_1 \), где \( B_1 \) и \( C_1 \) - это точки касания с описанной окружностью треугольника \( ABC \), соответствующие сторонам \( AB \) и \( AC \) соответственно. Заметим, что отрезки \( AB_1 \), \( AC_1 \) и \( B_1C_1 \) являются радиусами описанной окружности треугольника \( ABC \).

Как и в предыдущем случае, применим неравенство треугольника к треугольнику \( AB_1C_1 \):

\[ AB_1 + AC_1 > B_1C_1 \]

Подставим известные значения:

\[ 7 + 6 > B_1C_1 \]
\[ 13 > B_1C_1 \]

Так как радиус описанной окружности всегда больше радиуса вписанной окружности, то мы имеем следующее неравенство:

\[ R > r \]

Таким образом, радиус вписанной окружности \( r \) составляет не более 13, в то время как радиус описанной окружности \( R \) будет больше 13.

Ответ: радиус вписанной окружности \({r \leq 13}\), радиус описанной окружности \({R > 13}\).