В задаче № 2 предположим, что в результате проведения 30 экспериментов были получены 30 значений случайной величины

Semen_6703

28

Для нахождения оценки математического ожидания \(m\) и построения доверительного интервала с заданным уровнем доверия, в данном случае, мы можем использовать метод выборочного среднего.

Шаг 1: Вычисление выборочного среднего (\(\overline{x}\))
Для начала найдем выборочное среднее (\(\overline{x}\)), которое представляет собой сумму всех значений случайной величины \(x\) из выборки, поделенную на количество значений в выборке:
\[
\overline{x} = \frac{10.5 + 10.8 + 11.2 + 10.9 + 10.6 + 11.0 + 10.8 + 11.0 + 11.6 + 10.9 + 10.5 + 11.8 + 10.2 + 9.2 + 10.2 + 11.2 + 10.3 + 11.1 + 11.8 + 10.3 + 10.7 + 10.8 + 11.2 + 10.9 + 10.1 + 11.7 + 10.8 + 11.3 + 11.0 + 11.9}{30}
\]
После выполнения всех вычислений, получим:
\[
\overline{x} = 10.9267
\]

Шаг 2: Нахождение стандартного отклонения (\(\sigma\))
Для определения стандартного отклонения (\(\sigma\)) воспользуемся следующей формулой:
\[
\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}{n-1}}
\]
где \(n\) - количество значений в выборке, \(x_i\) - каждое значение в выборке, \(\overline{x}\) - выборочное среднее.

Подставляя значения в формулу, получим:
\[
\sigma = \sqrt{\frac{(10.5 - 10.9267)^2 + (10.8 - 10.9267)^2 + (11.2 - 10.9267)^2 + \ldots + (11.9 - 10.9267)^2}{30-1}}
\]
После выполнения всех вычислений, получим:
\[
\sigma = 0.6048
\]

Шаг 3: Построение доверительного интервала
Теперь, когда мы знаем выборочное среднее (\(\overline{x}\)) и стандартное отклонение (\(\sigma\)), мы можем построить доверительный интервал с заданным уровнем доверия.

При выборе уровня доверия, в данном случае, есть две возможности: либо 95%, либо 99%. Вы можете выбрать один из этих уровней.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания можно найти по следующей формуле:
\[
\overline{x} - Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < m < \overline{x} + Z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
где \(\overline{x}\) - выборочное среднее, \(\sigma\) - стандартное отклонение, \(n\) - количество значений в выборке, \(Z\) - значение стандартного нормального распределения для заданного уровня доверия.

Подставляя значения в формулу и принимая \(Z\) для 95% доверительного интервала (1.96), получим:
\[
10.9267 - 1.96 \frac{0.6048}{\sqrt{30}} < m < 10.9267 + 1.96 \frac{0.6048}{\sqrt{30}}
\]
После выполнения всех вычислений, получим:
\[
10.6828 < m < 11.1706
\]

Таким образом, оценка математического ожидания \(m\) для величины \(x\) составляет от 10.6828 до 11.1706 при 95% уровне доверия.