В зимнее время есть 60% вероятность, что поезд прибудет на станцию вовремя. Найти вероятность для следующих случаев

Zvezdopad_Na_Gorizonte

62

Давайте приступим к решению задачи. У нас есть информация о вероятности того, что поезд прибудет на станцию вовремя в зимнее время - 60%.

a) Прибытие одного из четырех ожидаемых поездов вовремя:
Чтобы найти вероятность, что один из четырех ожидаемых поездов прибудет вовремя, мы можем использовать понятие вероятности, как суммы вероятностей несовместных событий.
Событие "прибытие первого поезда вовремя" и событие "прибытие второго поезда вовремя" и так далее, являются несовместными событиями, потому что они не могут произойти одновременно. Вероятность каждого из этих событий равна 60%.

Таким образом, вероятность того, что один из четырех ожидаемых поездов прибудет вовремя, составляет:
$$P(\text{прибытие одного поезда вовремя})=P(\text{прибытие первого поезда вовремя})+P(\text{прибытие второго поезда вовремя})+P(\text{прибытие третьего поезда вовремя})+P(\text{прибытие четвертого поезда вовремя})$$
$$P(\text{прибытие одного поезда вовремя})=0,6+0,6+0,6+0,6=2,4$$

Обратите внимание, что вероятность может иметь значение больше 1. В этом случае, вероятность будет превышать 100% и говорить о том, что в среднем ожидается прибытие больше одного поезда вовремя.

b) Прибытие не менее трех из четырех ожидаемых поездов вовремя:
Для решения этой задачи мы можем определить вероятность, что больше или равно трех поездов прибудет вовремя.

Вероятность того, что все четыре поезда прибудут вовремя, равна:
$$P(\text{прибытие всех четырех поездов вовремя})=0,6\cdot 0,6\cdot 0,6\cdot 0,6=0,1296$$

Однако, нам также интересно знать вероятность прибытия только трех поездов вовремя. Обратимся к понятию сочетания. Сочетание из четырех поездов по трем, обозначим как "C(4, 3)".

$$C(4,3)=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4!}{3!\cdot 1!}=\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}=4$$

Таким образом, имеется 4 сочетания, при которых ровно три поезда прибудут вовремя. Каждое сочетание имеет вероятность $0,6^3\cdot 0,4=0,0864$.

Теперь мы можем найти сумму вероятностей для этих событий:
$$P(\text{прибытие не менее трех поездов вовремя})=P(\text{прибытие всех четырех поездов вовремя})+P(\text{прибытие трех поездов вовремя})\cdot C(4,3)$$
$$P(\text{прибытие не менее трех поездов вовремя})=0,1296+0,0864\cdot 4=0,1296+0,3456=0,4752$$

Таким образом, вероятность прибытия не менее трех из четырех ожидаемых поездов вовремя составляет 0,4752 или 47,52%.

в) Прибытие по крайней мере одного из четырех ожидаемых поездов вовремя:
Для решения этой задачи мы можем найти вероятность противоположного события, а затем вычесть его из 1. Противоположное событие - это событие, при котором ни один из четырех поездов не прибудет вовремя.

Вероятность того, что один поезд не прибудет вовремя, равна:
$$P(\text{поезд не прибудет вовремя})=1-P(\text{поезд прибудет вовремя})=1-0,6=0,4$$

Теперь, найдем вероятность того, что все четыре поезда не прибудут вовремя:
$$P(\text{отсутствие прибытия всех четырех поездов вовремя})=0,4\cdot 0,4\cdot 0,4\cdot 0,4=0,0256$$

Таким образом, вероятность прибытия по крайней мере одного из четырех ожидаемых поездов вовремя составляет:
$$P(\text{прибытие по крайней мере одного поезда вовремя})=1-P(\text{отсутствие прибытия всех четырех поездов вовремя})=1-0,0256=0,9744$$

Вероятность прибытия по крайней мере одного из четырех ожидаемых поездов вовремя составляет 0,9744 или 97,44%.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как решить данную задачу.