Вам потрібно знайти площу бічної поверхні циліндра, якщо паралельно до його осі проведено площину, яка перетинає основу

Тимур

53

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нам нужно знать радиус основания и высоту цилиндра. Однако в данной задаче мы не имеем прямой информации об этих параметрах. Вместо этого, у нас есть информация о плоскости, проходящей через цилиндр и пересекающей его основание по хорде, создающей угол с плоскостью основания. Нам дается также длина диагонали пересечения и длина дуги под углом β.

Давайте представим себе ситуацию: у нас есть цилиндр с основанием в форме круга, и одна из его сторон была бы разрезана плоскостью, параллельной оси цилиндра. Эта плоскость пересекает основание цилиндра по хорде, создающей угол с плоскостью основания. Поскольку цилиндр симметричен относительно своей оси, смысловая ситуация будет аналогичной при повороте плоскости на рассматриваемый угол β.

Площадь, которую мы ищем, будет эквивалентна площади сегмента сектора, созданного пересечением плоскости и круга – основания цилиндра.

Для того чтобы найти эту площадь, нам понадобится найти меру дуги, которую описывает плоскость на поверхности основания. Мера дуги будет связана с углом β и радиусом основания.

Если мы представим себе разрезанную плоскость на две половины, то эти половины будут образовывать правильные треугольники, с радиусом основания в качестве гипотенузы и хордой в качестве основания. Поскольку диагональ пересечения, упомянутая в задаче, является гипотенузой треугольника, мы можем использовать тригонометрию для нахождения значения этой хорды. Она будет равна \(2 \cdot a \cdot \sin(\beta/2)\), так как угол между диагональю и плоскостью основания равен β.

Таким образом, мы разбиваем круг на два сектора, оба с центральным углом β. Площадь одного из этих секторов будет равна \((\beta/360) \cdot \pi \cdot r^2\), где r - радиус основания. Чтобы найти площадь всего сегмента, мы вычитаем площадь треугольника из площади сегмента сектора. Таким образом, мы находим:

\[S = (\beta/360) \cdot \pi \cdot r^2 - (a\cdot \sin(\beta/2) \cdot r)/2\]

Где S - площадь боковой поверхности цилиндра, r - радиус основания, β - угол, a - диагональ пересечения. Теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для решения данной задачи.