Ваня разделил свое натуральное число на 4, 5 и 9. В каждом случае остался некоторый остаток. Сумма этих остатков

Ярд

48

Чтобы решить данную задачу, давайте использовать метод подбора. Пусть число Вани обозначается буквой \(x\). Мы знаем, что при делении числа Вани на 4, 5 и 9 остатки составляют 15. Давайте составим уравнение:

\[x \equiv a \pmod 4\]
\[x \equiv b \pmod 5\]
\[x \equiv c \pmod 9\]

Где \(a\), \(b\) и \(c\) - остатки при делении числа Вани на 4, 5 и 9 соответственно.

Мы также знаем, что сумма этих остатков составляет 15:

\[a + b + c = 15\]

Теперь давайте посмотрим на все возможные комбинации остатков, чтобы найти решение.

Сначала рассмотрим остаток при делении на 4. Варианты остатков от 1 до 3 не дают сумму 15, поэтому попробуем остаток 0.

Если \(x \equiv 0 \pmod 4\), то число \(x\) можно записать в виде:

\[x = 4p\]

Где \(p\) - целое число.

Теперь распишем остатки при делении на 5 и 9.

Если \(x = 4p\), то мы можем выразить \(x\) через \(p\):

\[a = x \equiv 0 \pmod 4\]
\[x \equiv 0 \pmod 5\]
\[x \equiv c \pmod 9\]

Зная это, давайте рассмотрим остатки при делении на 5. Варианты остатков от 1 до 4 не дают сумму 15, поэтому попробуем остаток 0.

Если \(x \equiv 0 \pmod 5\), то число \(x\) можно записать в виде:

\[x = 5q\]

Где \(q\) - целое число.

Теперь распишем остатки при делении на 9.

Если \(x = 5q\), то мы можем выразить \(x\) через \(q\):

\[a = x \equiv 0 \pmod 4\]
\[b = x \equiv 0 \pmod 5\]
\[x \equiv c \pmod 9\]

Зная это, давайте рассмотрим остатки при делении на 9. Варианты остатков от 1 до 8 не дают сумму 15, поэтому попробуем остаток 0.

Если \(x \equiv 0 \pmod 9\), то число \(x\) можно записать в виде:

\[x = 9r\]

Где \(r\) - целое число.

Теперь у нас есть:

\[a = x \equiv 0 \pmod 4\]
\[b = x \equiv 0 \pmod 5\]
\[c = x \equiv 0 \pmod 9\]

Подставляя значения \(x = 4p\), \(x = 5q\), \(x = 9r\) в уравнение \(a + b + c = 15\), получаем:

\[4p + 5q + 9r = 15\]

Мы ищем все возможные значения \(p\), \(q\), \(r\) такие, что уравнение выполняется и \(x\) - натуральное число. Вручную можно попробовать различные комбинации значений, однако есть алгоритмический способ решить это уравнение.

Заметим, что 4 и 5 делятся на 1. Рассмотрим числа \(x = 20n + 15\), где \(n\) - целое число. Нам нужно выбрать такое значение \(n\), что \(20n + 15\) делится на 9. Можно провести проверку различных значений \(n\) до тех пор, пока не найдем подходящее значение.

Подставляем \(x = 20n + 15\) в уравнения:

\[4(20n + 15) \equiv 0 \pmod 4\]
\[5(20n + 15) \equiv 0 \pmod 5\]
\[9(20n + 15) \equiv 0 \pmod 9\]

После упрощения уравнений получаем:

\[80n + 60 \equiv 0 \pmod 4\]
\[100n + 75 \equiv 0 \pmod 5\]
\[180n + 135 \equiv 0 \pmod 9\]

Упрощаем дальше:

\[20n + 15 \equiv 0 \pmod 4\]
\[20n \equiv 0 \pmod 5\]
\[20n \equiv 0 \pmod 9\]

Перепишем последнее уравнение в виде:

\[2n \equiv 0 \pmod 9\]

Теперь заметим, что \(n = 4\) является решением данного уравнения. Подставляем \(n = 4\) в \(x = 20n + 15\):

\[x = 20 \cdot 4 + 15 = 95\]

Ответ: Если Ваня разделит свое число на 15, остаток будет 5.