Вариант 1. 1. Докажите, что вектор КТ равен вектору МР. 2. Найдите координаты вектора, равного половине вектора КМ плюс

Летучий_Мыш

22

1. Для доказательства равенства векторов КТ и МР, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма, в котором диагонали делятся пополам. Для начала, обратимся к свойству, согласно которому сумма двух векторов равна их разности: \(\vec{KT} = \vec{KM} + \vec{MT}\). Затем, используя свойство пополам, разделим вектор \(\vec{KM}\) на две равные части: \(\vec{KM} = \vec{KP} + \vec{PM}\). Подставим это в выражение для \(\vec{KT}\): \(\vec{KT} = (\vec{KP} + \vec{PM}) + \vec{MT}\). Пользуясь коммутативностью сложения векторов, перепишем выражение следующим образом: \(\vec{KT} = \vec{KP} + (\vec{PM} + \vec{MT})\). Однако, согласно данной нам задаче, \(\vec{PM}\) равен \(\vec{MR}\). Подставим это в выражение: \(\vec{KT} = \vec{KP} + (\vec{MR} + \vec{MT})\). Используя свойство сложения векторов, перепишем это выражение: \(\vec{KT} = \vec{KP} + \vec{MT} + \vec{MR}\). Теперь, обратимся к свойству параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делятся пополам. Значит, \(\vec{MT} = \vec{KP}\), поскольку \(\vec{MT}\) и \(\vec{KP}\) являются диагоналями прямоугольника МКТП. Подставим это в выражение: \(\vec{KT} = \vec{KP} + \vec{KP} + \vec{MR}\). Сократим выражение: \(\vec{KT} = 2\vec{KP} + \vec{MR}\). Теперь мы видим, что вектор \(\vec{KT}\) равен \(\vec{MR}\), так как \(\vec{KP}\) равен нулевому вектору (или \(\vec{MR}\) делится пополам). Таким образом, мы доказали, что вектор \(\vec{KT}\) равен вектору \(\vec{MR}\).

2. Для нахождения координат вектора, равного половине вектора \(\vec{KM}\) плюс вектору \(\vec{TK}\), мы можем применить формулу сложения векторов. Первым шагом, найдем половину вектора \(\vec{KM}\), разделив его координаты на 2: \(\vec{KM} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\), где \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки \(M\), а \(x_2\) и \(y_2\) - координаты точки \(K\). Поделим каждую координату на 2: \(\vec{KM} = \left(\frac{{x_2 - x_1}}{2}, \frac{{y_2 - y_1}}{2}\right)\).
Затем, найдем вектор \(\vec{KT}\), сложив вектор половины \(\vec{KM}\) с вектором \(\vec{TK}\): \(\vec{KT} = \left(\frac{{x_2 - x_1}}{2}, \frac{{y_2 - y_1}}{2}\right) + (x_3 - x_1, y_3 - y_1)\), где \(x_3\) и \(y_3\) - координаты точки \(T\). Сложим каждую координату по отдельности: \(\vec{KT} = \left(\frac{{x_2 - x_1}}{2} + (x_3 - x_1), \frac{{y_2 - y_1}}{2} + (y_3 - y_1)\right)\). Упростим выражение: \(\vec{KT} = \left(\frac{{x_2 + x_3}}{2} - \frac{{x_1}}{2}, \frac{{y_2 + y_3}}{2} - \frac{{y_1}}{2}\right)\). Таким образом, координаты вектора, равного половине вектора \(\vec{KM}\) плюс вектору \(\vec{TK}\), равны \(\left(\frac{{x_2 + x_3}}{2} - \frac{{x_1}}{2}, \frac{{y_2 + y_3}}{2} - \frac{{y_1}}{2}\right)\).

3. Чтобы найти абсолютное значение вектора \(\vec{KM}\), мы можем воспользоваться формулой длины вектора в двумерном пространстве: \(|\vec{KM}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\), где \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки \(M\), а \(x_2\) и \(y_2\) - координаты точки \(K\). Подставим значения в формулу: \(|\vec{KM}| = \sqrt{((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)}\). Упростим выражение: \(|\vec{KM}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Таким образом, абсолютное значение вектора \(\vec{KM}\) равно \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

4. Чтобы построить два произвольных вектора \(\vec{MN}\) и \(\vec{MR}\) на графике, нам необходимо знать их координаты. Предположим, что координаты точек \(M\), \(N\) и \(R\) равны: \(M(x_1, y_1)\), \(N(x_2, y_2)\) и \(R(x_3, y_3)\). Затем нанесем эти точки на координатную плоскость. Поэтому для вектора \(\vec{MN}\) координаты равны: \((x_2 - x_1, y_2 - y_1)\), а координаты вектора \(\vec{MR}\) равны: \((x_3 - x_1, y_3 - y_1)\). Построим эти два вектора с учетом начала в точке \(M\). Для этого проведем отрезки из точки \(M\) до точек \(N\) и \(R\), используя найденные координаты векторов. Получим два произвольных вектора \(\vec{MN}\) и \(\vec{MR}\) на графике.

5. Чтобы найти значение \(M\), при котором векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) перпендикулярны, нам необходимо задать компоненты этих векторов и решить уравнение произведения скалярного произведения двух векторов, которое равно нулю, так как перпендикулярные векторы всегда имеют нулевое скалярное произведение. Предположим, что векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) заданы как \(\vec{A} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{B} = (x_2, y_2)\). Тогда скалярное произведение будет равно: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\). Решим это уравнение: \(x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 0\). Таким образом, значения \(M\), при которых векторы \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) перпендикулярны, должны удовлетворять данному уравнению.

6. Чтобы найти косинус угла между векторами \(\vec{KT}\) и \(\vec{KT}\), мы можем воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами: \(\cos(\theta) = \frac{{\vec{KT} \cdot \vec{KT}}}{{|\vec{KT}| \cdot |\vec{KT}|}}\), где \(\theta\) - угол между векторами \(\vec{KT}\) и \(\vec{KT}\). Подставим значения в формулу: \(\cos(\theta) = \frac{{\vec{KT} \cdot \vec{KT}}}{{|\vec{KT}| \cdot |\vec{KT}|}}\). Пользуясь свойствами скалярного произведения и длины вектора, упростим выражение: \(\cos(\theta) = \frac{{|\vec{KT}|^2}}{{|\vec{KT}| \cdot |\vec{KT}|}}\). Сократим выражение: \(\cos(\theta) = \frac{{|\vec{KT}|}}{{|\vec{KT}|}}\). Получаем, что косинус угла между векторами \(\vec{KT}\) и \(\vec{KT}\) равен 1.