Вариант 1 1. Какие пары чисел могут быть одновременно равными тангенсу и котангенсу одного и того же угла? А) 2 3

Вечная_Мечта

38

1. Чтобы найти пары чисел, которые одновременно равны тангенсу и котангенсу одного и того же угла, нам нужно знать определение этих функций. Тангенс и котангенс - это тригонометрические функции, которые связаны с синусом и косинусом следующим образом:

Тангенс угла α = \(\frac{{\sin α}}{{\cos α}}\)
Котангенс угла α = \(\frac{{\cos α}}{{\sin α}}\)

Посмотрим на каждую пару чисел:

А) Проверим, могут ли числа 2/3 и 3 быть одновременно равными тангенсу и котангенсу одного и того же угла:

Тангенс арктангенса 2/3 ≈ 0.588 и котангенс арккотангенса 3 ≈ 0.321.
Поэтому числа 2/3 и 3 не могут быть одновременно равными тангенсу и котангенсу одного и того же угла.

Б) Теперь проверим, могут ли числа 0.25 и 4 быть одновременно равными тангенсу и котангенсу:

Тангенс арктангенса 0.25 ≈ 0.244 и котангенс арккотангенса 4 ≈ 0.197.
Таким образом, числа 0.25 и 4 также не могут быть одновременно равными тангенсу и котангенсу одного и того же угла.

В) Наконец, проверим, могут ли числа 1 и -1 быть одновременно равными тангенсу и котангенсу:

Тангенс арктангенса 1 ≈ 0.785 и котангенс арккотангенса -1 ≈ 0.785.
Итак, числа 1 и -1 могут быть одновременно равными тангенсу и котангенсу одного и того же угла.

Поэтому правильный ответ на первый вопрос: В) 1 и -1.

2. Теперь рассмотрим пары чисел, которые одновременно равны синусу и косинусу одного и того же угла:

А) Проверим, могут ли числа 0.5 и 2 быть одновременно равными синусу и косинусу:

Угол, при котором синус равен 0.5, ≈ 30°, а косинус равен 2 не может быть, так как косинус не может быть больше 1. Поэтому пара чисел 0.5 и 2 не может быть одновременно равной синусу и косинусу одного и того же угла.

Б) Проверим, могут ли числа 0.5 и 0.5 быть одновременно равными синусу и косинусу:

Угол, при котором синус и косинус равны 0.5 ≈ 45°. Таким образом, пара чисел 0.5 и 0.5 может быть одновременно равной синусу и косинусу одного и того же угла.

В) Наконец, проверим, могут ли числа 0.6 и 0.8 быть одновременно равными синусу и косинусу:

Угол, при котором синус равен 0.6 и косинус равен 0.8, ≈ 53.1°. Таким образом, пара чисел 0.6 и 0.8 может быть одновременно равной синусу и косинусу одного и того же угла.

Правильный ответ на второй вопрос: Б) 0.5 и 0.5; В) 0.6 и 0.8.

3. Выражение \(sin^2α+cos^2α+5\) может быть упрощено с использованием тригонометрической тождества, которое утверждает, что синус угла в квадрате плюс косинус угла в квадрате всегда равно единице:

\(sin^2α+ cos^2α = 1\)

Таким образом, выражение упрощается до:

\(1+5 = 6\)

Итак, значение выражения \(sin^2α+cos^2α+5\) равно 6.

4. Для упрощения выражения \(ctgαtgα – sin^2α\) воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Сначала перепишем ctg и tg в терминах синуса и косинуса:
\(ctgα = \frac{1}{{tanα}} = \frac{{cosα}}{{sinα}}\)
\(tgα = \frac{{sinα}}{{cosα}}\)

Теперь заменим ctgα и tgα в исходном выражении:
\(ctgαtgα – sin^2α = \frac{{cosα}}{{sinα}} \cdot \frac{{sinα}}{{cosα}} - sin^2α = 1 - sin^2α\)

Затем мы можем использовать тригонометрическое тождество \(sin^2α + cos^2α = 1\):
\(1 - sin^2α = cos^2α\)

Таким образом, упрощенное выражение равно \(cos^2α\).

5. Для решения этой задачи, вам понадобится использовать уравнение:

\(\cos α = -\frac{3}{5}\)

Сначала найдем значений синуса, котангенса и тангенса альфа.

Синус угла α можно найти используя тригонометрическое тождество \(sin^2α + cos^2α = 1\):

\(sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\)

Таким образом, \(sinα = \pm \frac{4}{5}\), но так как в условии указано, что \(\cosα = -\frac{3}{5}\), мы можем сделать вывод, что \(sinα = \frac{4}{5}\) (так как синус положителен в 1-й и 2-й четверти).

Котангенс можно найти по формуле \(ctg α = \frac{1}{tg α}\), и так как \(tgα = \frac{sinα}{cosα}\), мы получаем:

\(tgα = \frac{sinα}{cosα} = \frac{4/5}{-3/5} = - \frac{4}{3}\)

И наконец, тангенс можно найти по формуле \(tgα = \frac{sinα}{cosα}\):

\(tgα = \frac{sinα}{cosα} = \frac{4/5}{-3/5} = - \frac{4}{3}\)

Таким образом, \(sinα = \frac{4}{5}\), \(ctgα = - \frac{4}{3}\), \(tgα = - \frac{4}{3}\).

Надеюсь, это помогло вам разобраться с задачами! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать.