Вариант № 2 1. Даны следующие уравнения для движения мотоциклиста: x = 12t + 2t2 и велосипедиста x = -5t. Точка встречи

Schelkunchik

49

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

1. Даны следующие уравнения движения мотоциклиста и велосипедиста:

Мотоциклист: \(x = 12t + 2t^2\)
Велосипедист: \(x = -5t\)

a. Чтобы определить начальную скорость и ускорение каждого из них, нам необходимо взять производные от уравнений движения по времени:

Мотоциклист:
\(\frac{dx}{dt} = 12 + 4t\)
\(\frac{d^2x}{dt^2} = 4\)

Велосипедист:
\(\frac{dx}{dt} = -5\)
\(\frac{d^2x}{dt^2} = 0\)

Обратите внимание, что первая производная (\(\frac{dx}{dt}\)) представляет собой скорость, а вторая производная (\(\frac{d^2x}{dt^2}\)) представляет собой ускорение.

Таким образом, начальная скорость мотоциклиста равна 12, а начальное ускорение равно 4. Начальная скорость велосипедиста равна -5, а начальное ускорение равно 0.

Теперь давайте построим графики зависимости скорости от времени:

График скорости мотоциклиста (\(v_m\)) от времени (\(t\)):
\[
v_m = 12 + 4t
\]

График скорости велосипедиста (\(v_v\)) от времени (\(t\)):
\[
v_v = -5
\]

b. Чтобы рассчитать расстояние между ними через 5 секунд после встречи, мы должны найти их положения в момент времени t = 5. Подставим t = 5 в уравнения движения и вычислим значения x для мотоциклиста и велосипедиста:

Мотоциклист:
\(x_m = 12 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 = 60 + 50 = 110\)

Велосипедист:
\(x_v = -5 \cdot 5 = -25\)

Расстояние между ними через 5 секунд после встречи можно найти, вычислив разность между их положениями:
\(расстояние = |x_m - x_v| = |110 - (-25)| = 135\)

Таким образом, расстояние между ними через 5 секунд после встречи составляет 135 единиц.

c. Теперь давайте построим графики зависимости координат мотоциклиста и велосипедиста от времени.

График координат мотоциклиста (\(x_m\)) от времени (\(t\)):
\[
x_m = 12t + 2t^2
\]

График координат велосипедиста (\(x_v\)) от времени (\(t\)):
\[
x_v = -5t
\]

Передаем ситуацию с края скалы и камнем:
2. С края скалы горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Расстояние полета оказалось равно высоте скалы.

a. Чтобы найти высоту скалы, воспользуемся уравнением броска тела в вертикальном направлении:

\[
h = \frac{{v_0^2}}{{2g}}
\]

Где:
\(h\) - высота скалы
\(v_0\) - начальная горизонтальная скорость камня
\(g\) - ускорение свободного падения

В данной задаче нас интересует высота скалы, которая равна расстоянию полета камня.

Исходя из условия, расстояние полета камня равно высоте скалы. Значит, мы можем использовать формулу расстояния броска:

\[
d = \frac{{v_0^2}}{{g}}
\]

где \(d\) - расстояние полета, \(v_0\) - начальная горизонтальная скорость камня, \(g\) - ускорение свободного падения.

Таким образом, высота скалы равна расстоянию полета камня и может быть найдена по формуле:

\[
h = \frac{{d \cdot g}}{{v_0^2}}
\]

Подставляем известные значения:

\(d = 15\) м/с (расстояние полета камня)
\(g = 9.8\) м/с² (приближенное значение ускорения свободного падения на Земле, можно использовать десятичную форму)

Вычисляем:

\[
h = \frac{{15 \cdot 9.8}}{{15^2}} = \frac{{147}}{{225}} \approx 0.653 \text{ м}
\]

Таким образом, высота скалы составляет примерно 0.653 метра.