Вариант II 1. Определите минимальное и максимальное значение функции y=cos(x) на интервале [3π/4;11π/6]. 2. Укажите

Yak

22

1. Для начала, найдем значения функции \(y = \cos(x)\) на границах интервала \([3\pi/4;11\pi/6]\). Подставим \(x = 3\pi/4\) в функцию \(y = \cos(x)\):

\[y = \cos \left(\frac{{3\pi}}{{4}}\right) = -\frac{{\sqrt{2}}}{2}\]

Подставим \(x = 11\pi/6\) в функцию \(y = \cos(x)\):

\[y = \cos \left(\frac{{11\pi}}{{6}}\right) = -\frac{{\sqrt{3}}}{2}\]

Теперь найдем локальные экстремумы функции внутри интервала. Для этого найдем производную функции \(\cos(x)\) и приравняем ее к нулю:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = -\sin(x)\]

\[-\sin(x) = 0\]
\[x = \frac{{\pi}}{{2}} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Подставим найденные значения \(x\) обратно в функцию \(y = \cos(x)\) и получим значения \(y\) в точках экстремума:

При \(x = \frac{{\pi}}{{2}}\):
\[y = \cos\left(\frac{{\pi}}{{2}}\right) = 0\]

При \(x = \frac{{3\pi}}{{2}}\):
\[y = \cos\left(\frac{{3\pi}}{{2}}\right) = 0\]

Таким образом, минимальное значение функции на интервале [\(3\pi/4;11\pi/6\)] равно \(-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\), а максимальное значение равно \(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\).

2. а) Раскроем косинусы и синусы с использованием формулы \(sin^2(x) + cos^2(x) = 1\):

\[cos^2(\pi - t) + sin^2(t - \pi)\]

Поскольку \(cos^2(x) + sin^2(x) = 1\), то получаем:

\[1 + 1 = 2\]

б) Раскроем тригонометрические функции по формулам, которые мы знаем:

\[cos(t) \cdot ctg\left(\frac{{\pi}}{{2}} + t\right) \cdot cos\left(\frac{{\pi}}{{2}} + t\right)\]

\(ctg(x)\) - это равносильно \(\frac{{1}}{{tan(x)}}\), поэтому:

\[cos(t) \cdot \frac{{1}}{{tan\left(\frac{{\pi}}{{2}} + t\right)}} \cdot cos\left(\frac{{\pi}}{{2}} + t\right)\]

\(tan(x) = \frac{{sin(x)}}{{cos(x)}}\), поэтому:

\[cos(t) \cdot \frac{{1}}{{\frac{{sin\left(\frac{{\pi}}{{2}} + t\right)}}{{cos\left(\frac{{\pi}}{{2}} + t\right)}}}} \cdot cos\left(\frac{{\pi}}{{2}} + t\right)\]

Теперь сократим подобные части:

\[cos(t) \cdot \frac{{cos\left(\frac{{\pi}}{{2}} + t\right)}}{{sin\left(\frac{{\pi}}{{2}} + t\right)}} \cdot cos\left(\frac{{\pi}}{{2}} + t\right) = \]
\[cos(t) \cdot cos(t) = cos^2(t)\]

Ответ: а) 2, б) \(cos^2(t)\)

3. Решение уравнения:

\[sin(\pi + t) + cos(\frac{{\pi}}{{2}} + t) = \sqrt{2}\]

Раскроем синус суммы:

\[-sin(t) + cos(\frac{{\pi}}{{2}})cos(t) - sin(\frac{{\pi}}{{2}})sin(t) = \sqrt{2}\]

Раскроем значения косинуса и синуса:

\[-sin(t) + 0 \cdot cos(t) - 1 \cdot sin(t) = \sqrt{2}\]

\[-2sin(t) = \sqrt{2}\]

Разделим обе части уравнения на \(-2\):

\[sin(t) = -\frac{{\sqrt{2}}}{2}\]

Теперь найдем все значения \(t\), для которых это равенство выполняется. Из таблицы значений синуса мы знаем, что \(sin(\frac{{\pi}}{{4}}) = sin(\frac{{5\pi}}{{4}}) = -\frac{{\sqrt{2}}}{2}\). То есть, у нас два решения: \(\frac{{\pi}}{{4}}\) и \(\frac{{5\pi}}{{4}}\).

Ответ: \(t = \frac{{\pi}}{{4}}, \frac{{5\pi}}{{4}}\).

4. Для построения графика функции \(y = sin(x + \frac{{\pi}}{{4}}) - 3\) воспользуемся графиком функции \(y = sin(x)\) и сделаем сдвиг на \(\frac{{\pi}}{{4}}\) влево и \(-3\) вниз.

Вначале, нарисуем график функции \(y = sin(x)\):

\[

``(напишу формулу Графика)`]



После этого, сдвинем график на \(\frac{{\pi}}{{4}}\) влево и \(-3\) вниз:



\[

``(напишу формулу Графика сдвинутой функции)`]

Ответ: (напишу график с подписями осей и кривой)

5. Для построения графика функции \(y = 2cos(x^3)\) воспользуемся графиком функции \(y = cos(x)\) и сделаем возведение в куб и умножение на 2.

Вначале, нарисуем график функции \(y = cos(x)\):

\[

``(напишу формулу Графика)`]



После этого, возведем значений \(x\) в куб и умножим результат на 2:



\[

``(напишу формулу Графика измененной функции)`]

Ответ: (напишу график с подписями осей и кривой)

6. Чтобы доказать, что \(f(cos(x)) = -4sin^2(x) + 3cos(x)\), найдем значение функции \(f(x) = -4x^2 + 3x - 4\) и подставим в него \(cos(x)\):

\[f(cos(x)) = -4(cos(x))^2 + 3cos(x) - 4\]

Далее, заменим \((cos(x))^2\) на \((1 - sin^2(x))\), используя формулу \(cos^2(x) + sin^2(x) = 1\):

\[f(cos(x)) = -4(1 - sin^2(x)) + 3cos(x) - 4\]

Раскроем скобки:

\[f(cos(x)) = -4 + 4sin^2(x) + 3cos(x) - 4\]

\[f(cos(x)) = -4sin^2(x) + 3cos(x)\]

Таким образом, мы доказали, что \(f(cos(x)) = -4sin^2(x) + 3cos(x)\).

Ответ: функция \(f(cos(x)) = -4sin^2(x) + 3cos(x)\) верна.