Вариант II 1. Определите минимальное и максимальное значение функции y=cos(x) на интервале [3π/4;11π/6]. 2. Укажите

Yak

22

1. Для начала, найдем значения функции $y=\cos (x)$ на границах интервала $[3\pi /4;11\pi /6]$. Подставим $x=3\pi /4$ в функцию $y=\cos (x)$:

$$y=\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим $x=11\pi /6$ в функцию $y=\cos (x)$:

$$y=\cos \left(\frac{11\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь найдем локальные экстремумы функции внутри интервала. Для этого найдем производную функции $\cos (x)$ и приравняем ее к нулю:

$$\frac{dy}{dx}=-\sin (x)$$

$$-\sin (x)=0$$
$$x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Подставим найденные значения $x$ обратно в функцию $y=\cos (x)$ и получим значения $y$ в точках экстремума:

При $x=\frac{\pi }{2}$:
$$y=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0$$

При $x=\frac{3\pi }{2}$:
$$y=\cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)=0$$

Таким образом, минимальное значение функции на интервале [$3\pi /4;11\pi /6$] равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, а максимальное значение равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. а) Раскроем косинусы и синусы с использованием формулы $si{n}^2(x)+co{s}^2(x)=1$:

$$co{s}^2(\pi -t)+si{n}^2(t-\pi )$$

Поскольку $co{s}^2(x)+si{n}^2(x)=1$, то получаем:

$$1+1=2$$

б) Раскроем тригонометрические функции по формулам, которые мы знаем:

$$cos(t)\cdot ctg(\frac{\pi }{2}+t)\cdot cos(\frac{\pi }{2}+t)$$

$ctg(x)$ - это равносильно $\frac{1}{tan(x)}$, поэтому:

$$cos(t)\cdot \frac{1}{tan(\frac{\pi }{2}+t)}\cdot cos(\frac{\pi }{2}+t)$$

$tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$, поэтому:

$$cos(t)\cdot \frac{1}{\frac{sin(\frac{\pi }{2}+t)}{cos(\frac{\pi }{2}+t)}}\cdot cos(\frac{\pi }{2}+t)$$

Теперь сократим подобные части:

$$cos(t)\cdot \frac{cos(\frac{\pi }{2}+t)}{sin(\frac{\pi }{2}+t)}\cdot cos(\frac{\pi }{2}+t)=$$
$$cos(t)\cdot cos(t)=co{s}^2(t)$$

Ответ: а) 2, б) $co{s}^2(t)$

3. Решение уравнения:

$$sin(\pi +t)+cos(\frac{\pi }{2}+t)=\sqrt{2}$$

Раскроем синус суммы:

$$-sin(t)+cos(\frac{\pi }{2})cos(t)-sin(\frac{\pi }{2})sin(t)=\sqrt{2}$$

Раскроем значения косинуса и синуса:

$$-sin(t)+0\cdot cos(t)-1\cdot sin(t)=\sqrt{2}$$

$$-2sin(t)=\sqrt{2}$$

Разделим обе части уравнения на $-2$:

$$sin(t)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Теперь найдем все значения $t$, для которых это равенство выполняется. Из таблицы значений синуса мы знаем, что $sin(\frac{\pi }{4})=sin(\frac{5\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. То есть, у нас два решения: $\frac{\pi }{4}$ и $\frac{5\pi }{4}$.

Ответ: $t=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$.

4. Для построения графика функции $y=sin(x+\frac{\pi }{4})-3$ воспользуемся графиком функции $y=sin(x)$ и сделаем сдвиг на $\frac{\pi }{4}$ влево и $-3$ вниз.

Вначале, нарисуем график функции $y=sin(x)$:

\[

``(напишу формулу Графика)`]



После этого, сдвинем график на \(\frac{{\pi}}{{4}}\) влево и \(-3\) вниз:



\[

``(напишу формулу Графика сдвинутой функции)`]

Ответ: (напишу график с подписями осей и кривой)

5. Для построения графика функции $y=2cos(x^3)$ воспользуемся графиком функции $y=cos(x)$ и сделаем возведение в куб и умножение на 2.

Вначале, нарисуем график функции $y=cos(x)$:

\[

``(напишу формулу Графика)`]



После этого, возведем значений \(x\) в куб и умножим результат на 2:



\[

``(напишу формулу Графика измененной функции)`]

Ответ: (напишу график с подписями осей и кривой)

6. Чтобы доказать, что $f(cos(x))=-4si{n}^2(x)+3cos(x)$, найдем значение функции $f(x)=-4x^2+3x-4$ и подставим в него $cos(x)$:

$$f(cos(x))=-4(cos(x){)}^2+3cos(x)-4$$

Далее, заменим $(cos(x){)}^2$ на $(1-si{n}^2(x))$, используя формулу $co{s}^2(x)+si{n}^2(x)=1$:

$$f(cos(x))=-4(1-si{n}^2(x))+3cos(x)-4$$

Раскроем скобки:

$$f(cos(x))=-4+4si{n}^2(x)+3cos(x)-4$$

$$f(cos(x))=-4si{n}^2(x)+3cos(x)$$

Таким образом, мы доказали, что $f(cos(x))=-4si{n}^2(x)+3cos(x)$.

Ответ: функция $f(cos(x))=-4si{n}^2(x)+3cos(x)$ верна.