Весельчак У разработал генератор паролей, который создает пароли состоящие из 4 символов. Каждый символ выбирается

Schavel

49

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, обозначим количество символов в наборе X как x. Мы хотим найти значение x, при котором сообщение о том, что пароль является палиндромом, содержит на 3 бита меньше информации, чем сообщение о том, что пароль состоит из одинаковых символов.

Для определения количества информации в сообщении, используется формула Хартли. Количество информации выражается в битах и равно логарифму по основанию 2 от числа возможных исходов.

Первое сообщение "пароль является палиндромом" содержит на 3 бита меньше информации, чем второе сообщение "пароль состоит из одинаковых символов". Это значит, что разность в количестве информации между двумя сообщениями составляет 3 бита.

Давайте посчитаем количество информации в каждом сообщении отдельно.

Для первого сообщения, количество информации можно выразить следующим образом:
\[I_1 = \log_2(\text{{количество возможных палиндромов}}) = \log_2(x^2)\]

Для второго сообщения, количество информации выражается как:
\[I_2 = \log_2(\text{{количество возможных паролей с одинаковыми символами}}) = \log_2(x)\]

Теперь мы можем записать уравнение, сравнивающее количество информации:
\[I_1 = I_2 - 3\]

Подставим значения I_1 и I_2:
\[\log_2(x^2) = \log_2(x) - 3\]

Решим это уравнение.

Сначала возведем обе стороны уравнения в 2:
\[x^2 = 2^{(\log_2(x) - 3)}\]

После упрощения:
\[x^2 = \frac{x}{8}\]

Перенесем все члены уравнения в одну часть:
\[x^2 - \frac{x}{8} = 0\]

Теперь можно факторизировать это уравнение:
\[x \left(x - \frac{1}{8}\right) = 0\]

Решим для x:
\[x = 0, \frac{1}{8}\]

Мы отбрасываем 0 как недопустимое значение для количества символов в наборе, поэтому единственным корректным ответом является x = \(\frac{1}{8}\).

Таким образом, количество символов X, при которых указанное соотношение верно, равно \(\frac{1}{8}\).