VI. Combinatorics Using the digits 0, 1, 2, and e, form four-digit numbers such that the digits in the number

Даша

22

Для решения задачи, давайте рассмотрим каждый из вариантов по отдельности.

16. Для определения, является ли число 1240 наименьшим из четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2 и е, давайте рассмотрим возможные комбинации.

Первая цифра в числе имеет всего 3 варианта: 1, 2 или е (потому что 0 не может быть первой цифрой, ведь тогда число перестанет быть четырехзначным).

Для второй цифры в числе остаются 3 варианта (поскольку уже одна цифра использована для первой позиции).

Для третьей цифры остается только 2 варианта (поскольку две цифры уже использованы).

И, наконец, последняя позиция должна быть заполнена оставшейся цифрой.

Таким образом, всего возможно составить \(3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18\) различных четырехзначных чисел.

Теперь давайте проверим, является ли число 1240 наименьшим из всех возможных чисел.

Мы можем составить список всех этих чисел:
0124, 0142, 0214, 0241, 0412, 0421,
1024, 1042, 1204, 1240, 1402, 1420,
2014, 2041, 2104, 2140, 2401, 2410.

Сравнивая все эти числа, мы видим, что наименьшим числом является 0124, а не 1240.

Таким образом, утверждение "1240 - наименьшее число среди всех возможных четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2 и е" - неверно.

17. Для определения количества пятизначных чисел, которые больше 4000, давайте рассмотрим количество возможных комбинаций для каждой позиции в числе.

Первая позиция может быть только 4 или 2 (потому что 0 и 1 не могут быть первыми цифрами, ведь нам нужно, чтобы число было больше 4000).

Для оставшихся четырех позиций мы можем выбрать одну из трех цифр: 0, 1, или е.

Таким образом, общее количество пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2 и е и которые больше 4000, будет равно \(2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 162\) числа.

Теперь давайте проверим, является ли количество этих чисел равным 6.

162 числа - это все возможные пятизначные числа, которые можно составить из цифр 0, 1, 2 и е и которые больше 4000.

Таким образом, утверждение "Среди всех возможных пятизначных чисел существует ровно 6 чисел, которые больше 4000" - неверно.

18. Для определения количества нечетных чисел среди всех возможных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2 и е, давайте рассмотрим количество вариантов для каждой позиции в числе.

Первая позиция может быть или 1 или 2 (потому что 0 не может быть первой цифрой, ведь тогда число перестанет быть четырехзначным).

Для оставшихся трех позиций мы можем выбрать одну из трех цифр: 0, 1 или е.

Таким образом, для четырехзначного числа будет существовать \(2 \times 3 \times 3 \times 3 = 54\) возможных комбинации.

Для определения количества нечетных чисел в этом списке, давайте разделим его на две группы: числа, оканчивающиеся на 1 и числа, оканчивающиеся на е.

Из этих двух групп только числа, оканчивающиеся на 1, являются нечетными числами.

Посмотрим на числа, оканчивающиеся на 1: 0211, 1201, 1210, 2011, 2101, 2110.

Таким образом, среди всех возможных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2 и е, существует ровно 6 нечетных чисел.

Утверждение "Всего будет 4 нечетных числа" - неверно. Имеется 6 нечетных чисел.