Сколько команд из 4 человек можно сформировать из 12 учащихся 1 курса, у которых оценки по математике 4-5 ? Требуется

Vihr

63

Очень хорошо! Давайте начнем с решения задачи.

У нас есть 12 учащихся 1 курса, у которых оценки по математике "4-5". Мы должны определить, сколько команд из 4 человек можно сформировать из этой группы.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для определения количества комбинаций из n элементов, выбранных по k элементов, которая записывается как C(n, k) или nCk.

Формула для комбинации C(n, k) выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}} \]

Где "!" обозначает факториал числа, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа.

В нашем случае, у нас есть 12 учащихся, и мы хотим сформировать команды из 4 человек. Поэтому мы можем использовать формулу комбинации, подставив n = 12 и k = 4.

\[ C(12, 4) = \frac{{12!}}{{4! \cdot (12-4)!}} \]

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель:
\[ 12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

Знаменатель:
\[ 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]
\[ (12-4)! = 8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \]

Теперь мы можем подставить значения в формулу и вычислить результат.

\[ C(12, 4) = \frac{{12!}}{{4! \cdot (12-4)!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}} \]

Теперь давайте упростим выражение:

\[ C(12, 4) = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \]

Многие числа сокращаются:

\[ C(12, 4) = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} \]

Теперь вычислим эту дробь:

\[ C(12, 4) = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 3}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9}}{{2 \cdot 1}} \]

\[ C(12, 4) = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990 \]

Таким образом, из 12 учащихся 1 курса, у которых оценки по математике "4-5", можно сформировать 990 команд из 4 человек.