Виявлено планету, що має масу в п ять разів більше, ніж маса Землі. Визначте радіус цієї планети, припускаючи

Strekoza

54

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать закон всемирного тяготения, который устанавливает взаимосвязь между массой тел, расстоянием между ними и силой притяжения.

По формуле для силы тяготения:
\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где:
\(F\) - сила тяготения,
\(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\)),
\(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел,
\(r\) - расстояние между телами.

Известно, что масса планеты в 5 раз больше, чем масса Земли (\(m_1 = 5 \cdot m_{\text{Земли}}\)).

Также дано, что на поверхности планеты прискорение свободного падения равно прискорению свободного падения на Земле (приближенно равно \(9.8 \, \text{м/c}^2\)).

Мы можем использовать данное значение ускорения вместе с массой Земли и при допущении, что планета является точечным объектом, чтобы определить радиус планеты.

Для этого приравняем силу тяготения на поверхности планеты и на поверхности Земли:

\[F_{\text{планеты}} = F_{\text{Земли}}\]

\[G \cdot \frac{{m_{\text{планеты}} \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r^2_{\text{планеты}}}} = G \cdot \frac{{m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{Массива Планеты}}}}{{r^2_{\text{Земли}}}}\]

Учитывая, что \(m_{\text{планеты}} = 5 \cdot m_{\text{Земли}}\) и \(r_{\text{Земли}}\) - радиус Земли, а \(r_{\text{планеты}}\) - радиус планеты, получаем:

\[G \cdot \frac{{5 \cdot m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r^2_{\text{планеты}}}} = G \cdot \frac{{m_{\text{Земли}} \cdot m_{\text{Массива Планеты}}}}{{r^2_{\text{Земли}}}}\]

Cокращаем гравитационную постоянную \(G\) и массу Земли \(m_{\text{Земли}}\). Затем разделяем оба выражения на \(m_{\text{Массива Планеты}}\) и решаем уравнение:

\[5 \cdot \frac{{1 \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r^2_{\text{планеты}}}} = \frac{{m_{\text{Земли}}}}{{r^2_{\text{Земли}}}}\]

Переставляем и решаем уравнение относительно радиуса планеты \(r_{\text{планеты}}\):

\[\frac{{5 \cdot m_{\text{Земли}}}}{{r^2_{\text{планеты}}}} = \frac{{m_{\text{Земли}}}}{{r^2_{\text{Земли}}}}\]

\[5 \cdot r^2_{\text{Земли}} = r^2_{\text{планеты}}\]

\[r^2_{\text{планеты}} = 5 \cdot r^2_{\text{Земли}}\]

\[r_{\text{планеты}} = \sqrt{{5 \cdot r^2_{\text{Земли}}}}\]

Таким образом, радиус планеты равен \(\sqrt{{5 \cdot r^2_{\text{Земли}}}}\) или \(\sqrt{{5}}\) раз больше радиуса Земли.

Надеюсь, это решение поможет вам понять данный материал и решить задачу. Желаю успехов!