Визначте довжину більшої діагоналі ромба зі стороною довжиною 12 см, якщо тупий кут ромба дорівнює 120 градусів

Лизонька

31

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства ромба и тригонометрию.

Свойства ромба говорят нам о том, что его диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Это значит, что мы можем разделить данный ромб на два прямоугольных треугольника.

Полуоснование каждого из этих треугольников будет равно половине длины большой диагонали ромба, а его высота будет равна половине длины малой диагонали.

Нам известно, что сторона ромба равна 12 см, поэтому полуоснование прямоугольного треугольника будет равно половине этой стороны, то есть \(6\) см.

У нас также есть информация о том, что тупой угол ромба равен 120 градусов. Обратите внимание, что угол внутри прямоугольного треугольника будет равен половине этого тупого угла, то есть 60 градусов.

Для вычисления высоты прямоугольного треугольника мы можем воспользоваться формулой \(\sin(\alpha) = \frac{{opposite}}{{hypotenuse}}\), где \(\alpha\) - угол, \(\text{{opposite}}\) - противолежащий катет, \(\text{{hypotenuse}}\) - гипотенуза.

В нашем случае, у нас есть прямоугольный треугольник с углом 60 градусов. Высота этого треугольника будет противолежащим катетом, а половина длины малой диагонали - гипотенузой.

Подставим значения в формулу:

\(\sin(60^\circ) = \frac{{\text{{высота}}}}{{\frac{{12}}{2}}}\)

\(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{{\text{{высота}}}}{{6}}\)

Теперь найдем высоту:

\(\text{{высота}} = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \cdot 6\)

\(\text{{высота}} = 3\sqrt{3}\)

Так как малая диагональ ромба равна удвоенной высоте прямоугольного треугольника, то малая диагональ будет равна \(2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\).

Теперь, чтобы найти большую диагональ, мы можем воспользоваться формулой Пифагора для прямоугольного треугольника:

\((\text{{большая диагональ}})^2 = (\text{{сторона}})^2 + (\text{{малая диагональ}})^2\)

\((\text{{большая диагональ}})^2 = 12^2 + (6\sqrt{3})^2\)

\((\text{{большая диагональ}})^2 = 144 + 108\)

\((\text{{большая диагональ}})^2 = 252\)

\(\text{{большая диагональ}} = \sqrt{252}\)

\(\text{{большая диагональ}} = 3\sqrt{14}\)

Таким образом, длина большей диагонали ромба со стороной длиной 12 см и тупым углом 120 градусов равна \(3\sqrt{14}\) (приближенно 11.92 см).