Во сколько раз необходимо увеличить коэффициент жёсткости пружины, чтобы уменьшить период колебаний груза, подвешенного

Морозный_Полет

21

Для начала, давайте разберемся с формулой для периода колебаний пружинного маятника. Период колебаний (T) зависит от коэффициента жёсткости пружины (k) и массы груза (m) и может быть вычислен по формуле:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

Где \(T\) - период колебаний, \(\pi\) - математическая константа, \(m\) - масса груза, \(k\) - коэффициент жёсткости пружины.

Теперь предположим, что исходный период колебаний \(T_1\) и коэффициент жёсткости пружины \(k_1\) соответствуют начальному состоянию, а новый период колебаний \(T_2\) и коэффициент жёсткости пружины \(k_2\) соответствуют состоянию, в котором период уменьшился в 3,7 раза.

То есть, мы имеем:

\[T_2 = 3.7 \times T_1\]

и

\[k_2 = n \times k_1\]

где \(n\) - множитель, на который нужно увеличить коэффициент жесткости пружины.

Теперь, чтобы решить задачу, мы можем подставить значения из формулы периода колебаний в уравнение для \(T_2\):

\[2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = 3.7 \times 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}\]

Очевидно, что \(\pi\) и \(m\) являются общими множителями в обеих частях уравнения. Имея это в виду, мы можем упростить его следующим образом:

\[\sqrt{\frac{1}{k_2}} = 3.7 \times \sqrt{\frac{1}{k_1}}\]

Теперь давайте избавимся от квадратного корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

\[\frac{1}{k_2} = (3.7 \times \sqrt{\frac{1}{k_1}})^2\]

\[\frac{1}{k_2} = 3.7^2 \times \frac{1}{k_1}\]

Далее, давайте избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на \(k_2 \times k_1\):

\[k_1 = 3.7^2 \times k_2\]

Таким образом, чтобы уменьшить период колебаний в 3,7 раза, коэффициент жёсткости пружины должен быть увеличен в 3.7^2 (3.7 в квадрате) раз.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как вывести формулу и получить правильный ответ.