Вопрос: Как меняется со временем скорость роста площади поверхности и объема сферы, если радиус становится равным?

Sabina

57

Прекрасный вопрос! Давайте рассмотрим, как меняется скорость роста площади поверхности и объема сферы при изменении радиуса.

Мы начнем с определения формул для площади поверхности и объема сферы. Для сферы с радиусом \( r \), площадь поверхности \( S \) можно выразить как:

\[ S = 4\pi r^2 \]

А объем \( V \) сферы с радиусом \( r \) можно выразить следующим образом:

\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Теперь, чтобы узнать, как меняются скорости роста площади поверхности и объема сферы при изменении радиуса, мы возьмем производные этих функций по отношению к радиусу.

Дифференцируем площадь поверхности \( S \) по \( r \):

\[ \frac{dS}{dr} = 8\pi r \]

Соответственно, скорость роста площади поверхности сферы будет равна производной \( \frac{dS}{dr} \).

Дифференцируем объем \( V \) по \( r \):

\[ \frac{dV}{dr} = 4\pi r^2 \]

Аналогично, скорость роста объема сферы будет равна производной \( \frac{dV}{dr} \).

Теперь давайте рассмотрим, как эти скорости роста меняются при изменении радиуса.

Скорость роста площади поверхности сферы равна \( \frac{dS}{dr} = 8\pi r \). Это означает, что скорость роста площади поверхности пропорциональна радиусу и имеет линейную зависимость. Таким образом, с увеличением радиуса площадь поверхности сферы будет расти быстрее.

Скорость роста объема сферы равна \( \frac{dV}{dr} = 4\pi r^2 \). Это означает, что скорость роста объема также пропорциональна радиусу, но уже второй степени. Таким образом, с увеличением радиуса объем сферы будет расти быстрее, чем площадь поверхности.

Итак, чтобы подытожить, скорость роста площади поверхности сферы линейно зависит от радиуса, а скорость роста объема сферы зависит от радиуса второй степени. Поэтому, при увеличении радиуса, площадь поверхности будет расти быстрее, чем объем сферы.

Здесь мы рассмотрели основы изменения скоростей роста площади поверхности и объема сферы. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!