Возможно ли, чтобы три точки на сфере находились на одной прямой?

Ябедник

58

Необходимо разобрать данную задачу внимательно. Для начала, вспомним, что сфера является трехмерным объектом без плоских граней, поэтому в случае точек на сфере нельзя говорить о прямых в классическом понимании. Однако, можно говорить о так называемых "больших кругах" на сфере, которые играют роль прямых.

Чтобы узнать, возможно ли, чтобы три точки на сфере находились на одной "большой круг" (прямой), проведем несколько логических рассуждений и приведем обоснование для нашего ответа.

Предположим, что мы выбрали три точки на сфере, и они лежат на одной "большой круг". Если это так, то эти три точки должны лежать на одной плоскости, проходящей через центр сферы. Обратите внимание, что такая плоскость, проходящая через центр сферы, делит сферу на две равные части, которые называются полусферами.

Теперь предположим, что выбранные три точки лежат на одной прямой на сфере. Рассмотрим две из этих точек. Если они находятся на одной прямой, то существует кратчайший путь между ними на сфере, который является дугой окружности. Раз так, то эта дуга окружности будет являться частью "большого круга". Теперь добавим третью точку на эту "большую дугу". В результате имеем две дуги окружностей на сфере, которые пересекаются в трех точках.

Теперь заметим, что эти три точки не могут лежать на одной плоскости, так как пересечение двух окружностей на сфере, образованных этими точками, будет создавать третью точку, которая не может лежать в одной плоскости с другими двумя.

Исходя из этих рассуждений, мы можем сделать вывод, что невозможно, чтобы три точки на сфере находились на одной "большой круге" (прямой).

Математическое обоснование этой задачи также может быть дано с использованием координатной геометрии и уравнений сферы, однако в данном ответе мы ограничимся только логическими рассуждениями.