Возможно ли разрезать оставшуюся часть после вырезания произвольной угловой клетки из квадрата 4 на 4 на уголочки

Chudesnyy_Korol_9521

67

Да, возможно разрезать оставшуюся часть после вырезания произвольной угловой клетки из квадрата 4 на 4 на уголочки по 3 клеточки. Давайте посмотрим на решение этой задачи.

Для начала, давайте представим квадрат 4 на 4 с клетками, которые обозначены числами от 1 до 16:

\[ \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16 \\
\end{array}\]

Существует несколько способов разрезать оставшуюся часть квадрата на уголочки по 3 клеточки. Один из подходов может быть следующим:

1. Изначально вырежем угловую клетку с координатами (4, 4). В результате получим следующий квадрат 3 на 3:

\[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
5 & 6 & 7 \\
9 & 10 & 11 \\
\end{array}\]

2. Затем разрежем полученный квадрат 3 на 3 по вертикали между клетками (1, 3) и (2, 3). Таким образом, получим две уголочки по 3 клеточки:

\[ \begin{array}{cccc}
1 & 2 & | & 3 \\
5 & 6 & | & 7 \\
9 & 10 & | & 11 \\
\end{array}\]

3. В итоге, оставшаяся часть квадрата будет разделена на две уголочки по 3 клеточки:

\[ \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & | & 3 & \text{ } \\
5 & 6 & | & 7 & \text{ } \\
9 & 10 & | & 11 & \text{ } \\
\hline
\text{ } & \text{ } & \text{ } & \text{ } & \text{ } \\
\text{ } & \text{ } & \text{ } & \text{ } & \text{ } \\
\end{array}\]

Таким образом, мы смогли разрезать оставшуюся часть после вырезания угловой клетки 4 на 4 на уголочки по 3 клеточки.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда изначальный квадрат имеет размеры 2^n на 2^n, где n - целое число.

В этом случае также возможно разрезать оставшуюся часть на уголочки по 3 клеточки. Доказательство этого является частью более общей задачи, называемой задачей разрезания пирога.

Метод разрезания пирога показывает, что любой выпуклый многоугольник может быть разрезан на треугольники с помощью линий (разрезов). Это означает, что при наличии квадрата размером 2^n на 2^n можно его разрезать на треугольники, а затем объединить их в уголочки по 3 клеточки.

Таким образом, в обоих случаях, как для квадрата 4 на 4, так и для квадрата 2^n на 2^n, возможно разрезать оставшуюся часть на уголочки по 3 клеточки.