Время, выраженное в долях периода колебаний, когда колебательный контур находится в состоянии (A) и (B), которые

Pugayuschaya_Zmeya_8391

70

Для начала давайте рассмотрим рисунок 1, где показано зарядное состояние конденсатора до максимального заряда \( q_m \). Затем, после замыкания ключа в положение 2 на рисунке, конденсатор и катушка индуктивности соединяются.

При соединении конденсатора и катушки индуктивности образуется колебательный контур, который будет колебаться между состояниями (A) и (B) (как показано на рисунке 2).

У нас есть несколько состояний, которые мы должны рассмотреть подробно, чтобы найти время, выраженное в долях периода колебаний.

1. Состояние (A):
В этом состоянии сила тока \( I_m \) достигает максимального значения. Это означает, что в начальный момент времени ток в контуре равен \( I_m \). Ток в контуре можно выразить через заряд на конденсаторе и индуктивность катушки: \( I = \frac{dq}{dt} = - C \frac{dV}{dt} = - C \frac{d(VL)}{dt} \), где \( V \) - напряжение на конденсаторе, \( L \) - индуктивность катушки, \( C \) - ёмкость конденсатора.

Интегрируя это уравнение по времени, получим \( \int_{0}^{t} I \, dt = - \int_{0}^{q} C \frac{d(VL)}{dt} \, dt = - LC \int_{0}^{q} \frac{dV}{dt} \, dq \).

Заметим, что интеграл от производной \( \frac{dV}{dt} \) равен разности значений самой функции \( V(t) \) в начале и конце интервала интегрирования, то есть \( V_f - V_i \). Таким образом, наше уравнение принимает вид: \( \int_{0}^{t} I \, dt = - LC (V_f - V_i) \).

Теперь нам нужно понять, какую роль играют напряжения \( V_f \) и \( V_i \). В состоянии (A) напряжение на конденсаторе равно \( V_f \), а начальным моментом времени соответствует замыкание ключа в положение 2. Это означает, что в начальный момент времени напряжение на конденсаторе равно 0, то есть \( V_i = 0 \).

Подставляя значения \( V_f = V, \, V_i = 0 \), получим: \( \int_{0}^{t} I \, dt = - LC (V - 0) = - LCV \).

Теперь мы должны выразить интеграл от тока через период \( T \) колебаний. Так как сила тока \( I \) является функцией времени, то интеграл от \( I \) равен интегралу от \( \frac{dI}{dt} \) по времени на протяжении периода \( T \): \( \int_{0}^{T} I \, dt = \int_{0}^{T} \frac{dI}{dt} \, dt \).

Интегрируя это уравнение, получим: \( \int_{0}^{T} I \, dt = \int_{I_m}^{0} \, dI = -I_m \).

Таким образом, \( \int_{0}^{T} I \, dt = -I_m \) и \( \int_{0}^{T} I \, dt = - LCV \).

Приравнивая два полученных выражения \( -I_m = - LCV \), получим: \( I_m = LCV \).

Мы знаем, что \( I_m \) - это максимальное значение тока, а \( V \) - напряжение на конденсаторе. Максимальное значение напряжения \( V_m \) на конденсаторе может быть найдено с использованием формулы \( q = CV \), где \( q \) - заряд на конденсаторе. Таким образом, \( V_m = \frac{q_m}{C} \), где \( q_m \) - максимальный заряд на конденсаторе.

Теперь мы можем объединить эти результаты и выразить \( I_m \) через \( q_m \): \( I_m = LCV = LC \frac{q_m}{C} = Lq_m \).

Из этого следует, что максимальное значение тока \( I_m \) пропорционально максимальному заряду \( q_m \) на конденсаторе.

2. Состояние (B):
В этом состоянии конденсатор разряжается через катушку индуктивности. В итоге, через время \( t_1 \), заряд на конденсаторе уменьшается до 0.

Запишем уравнение для разрядного процесса конденсатора: \( q = q_m e^{-\frac{t}{RC}} \), где \( R \) - сопротивление контура, \( C \) - ёмкость конденсатора, \( t \) - время.

Когда \( q = 0 \), получим \( q_m e^{-\frac{t_1}{RC}} = 0 \). Так как \( q_m \) больше 0, получим \( e^{-\frac{t_1}{RC}} = 0 \).

Решая это уравнение относительно \( t_1 \), получим \( t_1 = -\infty \).

То есть, время, через которое заряд на конденсаторе в состоянии (B) становится равным 0, неограничено.

Итак, в ответе на задачу:
Время, выраженное в долях периода колебаний, когда колебательный контур находится в состояниях (A) и (B), после того как конденсатор и катушка индуктивности соединены после зарядки конденсатора до максимального заряда \( q_m \), следующее:
- В состоянии (A) время, выраженное в долях периода колебаний, равно 1.
- В состоянии (B) время, выраженное в долях периода колебаний, неограничено.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло понять решение задачи. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.