Вы планируете инвестировать 5 денежных средств в развитие трех предприятий. Возможная прибыль от инвестиций зависит

Таинственный_Рыцарь_8353

38

Для решения этой задачи мы должны определить, как распределить наши 5 денежных средств между тремя предприятиями, чтобы максимизировать прибыль. У нас есть несколько вариантов инвестиций, каждый из которых имеет свою соответствующую ставку доходности. Ниже представлен список этих вариантов:

Вариант 1: Инвестиция в предприятие A с доходностью 10%.
Вариант 2: Инвестиция в предприятие B с доходностью 7%.
Вариант 3: Инвестиция в предприятие C с доходностью 5%.

Предположим, что мы решаем распределить наши инвестиции между этими предприятиями следующим образом:

\(x_1\) - сумма, инвестированная в предприятие A.
\(x_2\) - сумма, инвестированная в предприятие B.
\(x_3\) - сумма, инвестированная в предприятие C.

Тогда мы можем записать следующее уравнение, описывающее нашу ситуацию:

\(x_1 + x_2 + x_3 = 5\).

Наша цель - максимизировать прибыль. Для этого мы должны максимизировать выражение:

\(0.1x_1 + 0.07x_2 + 0.05x_3\).

Теперь мы можем решить эту задачу при помощи метода Лагранжа. Перепишем наше уравнение и целевую функцию в следующей форме:

\(g(x_1, x_2, x_3) = x_1 + x_2 + x_3 - 5 = 0\) (уравнение ограничения),
\(f(x_1, x_2, x_3) = 0.1x_1 + 0.07x_2 + 0.05x_3\) (целевая функция).

Теперь построим следующую функцию Лагранжа:

\(L(x_1, x_2, x_3, \lambda) = f(x_1, x_2, x_3) - \lambda \cdot g(x_1, x_2, x_3)\),

где \(\lambda\) - множитель Лагранжа.

Чтобы максимизировать прибыль, найдем частные производные \(L\) по \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\), и приравняем их к нулю:

\(\frac{\partial L}{\partial x_1} = 0.1 - \lambda = 0\),
\(\frac{\partial L}{\partial x_2} = 0.07 - \lambda = 0\),
\(\frac{\partial L}{\partial x_3} = 0.05 - \lambda = 0\).

Отсюда получаем, что \(\lambda = 0.1 = 0.07 = 0.05\).

Подставим найденные значения \(\lambda\) в уравнение ограничения для определения соответствующих значений \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\):

\(x_1 + x_2 + x_3 = 5\),
\(0.1x_1 + 0.07x_2 + 0.05x_3 = 0.1 \cdot 5 = 0.7\).

Используя метод решения системы уравнений, мы можем найти значения \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) равными:

\(x_1 = 2\),
\(x_2 = 2\),
\(x_3 = 1\).

Таким образом, чтобы максимизировать прибыль, нам следует инвестировать 2 денежных средства в предприятие A, 2 денежных средства в предприятие B и 1 денежное средство в предприятие C. При таком распределении наших инвестиций мы получим максимальную прибыль в размере 0.7.