Вычислите величину тангенциального ускорения точки в момент времени t = 1/п с после старта, если она движется

Белка

68

Хорошо, я помогу вам решить эту задачу. Для начала, нам необходимо определить вектор скорости \( \vec{v} \) нашей точки. В данной задаче он задан следующим образом:

\[ v_x = 6 \cdot \pi \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot t) \]
\[ v_y = 6 \cdot \pi \cdot \sin(2 \cdot \pi \cdot t) \]

где \( t \) - время после старта.

Тангенциальное ускорение \( a_t \) может быть определено, используя следующую формулу:

\[ a_t = \frac{{dv}}{{dt}} \]

где \( v \) - вектор скорости, а \( t \) - время.

Для нахождения значений \( \frac{{dv_x}}{{dt}} \) и \( \frac{{dv_y}}{{dt}} \) нам нужно продифференцировать выражения \( v_x \) и \( v_y \) по отношению к \( t \).

Давайте начнем с \( v_x \):

\[ \frac{{dv_x}}{{dt}} = -12 \cdot \pi^2 \cdot \sin(2 \cdot \pi \cdot t) \]

и перейдем к \( v_y \):

\[ \frac{{dv_y}}{{dt}} = 12 \cdot \pi^2 \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot t) \]

Таким образом, мы получили следующие значения производных:

\[ \frac{{dv_x}}{{dt}} = -12 \cdot \pi^2 \cdot \sin(2 \cdot \pi \cdot t) \]
\[ \frac{{dv_y}}{{dt}} = 12 \cdot \pi^2 \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot t) \]

Теперь мы можем вычислить тангенциальное ускорение \( a_t \) в момент времени \( t = \frac{1}{\pi} \) секунды после старта, подставив значения производных в формулу:

\[ a_t = \sqrt{\left( \frac{{dv_x}}{{dt}} \right)^2 + \left( \frac{{dv_y}}{{dt}} \right)^2} \]

где \( \sqrt{} \) обозначает квадратный корень.

Подставляя значения производных, получим:

\[ a_t = \sqrt{\left( -12 \cdot \pi^2 \cdot \sin(2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{\pi}) \right)^2 + \left( 12 \cdot \pi^2 \cdot \cos(2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{\pi}) \right)^2} \]

Упрощая выражение, получаем:

\[ a_t = \sqrt{\left( -12 \cdot \pi^2 \cdot \sin(2) \right)^2 + \left( 12 \cdot \pi^2 \cdot \cos(2) \right)^2} \]

Теперь можно вычислить численное значение тангенциального ускорения.