What is the absolute value of the difference between the two smallest roots of the equation X^3-2022x+sqrt2021

Путник_Судьбы

28

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом, чтобы ответ был понятен школьнику.

У нас дана кубическая уравнение следующего вида:
\[X^3 - 2022x + \sqrt{2021} = 0.\]

Чтобы найти корни этого уравнения, можно воспользоваться методом решения кубического уравнения. Однако, заметим, что второй член уравнения, -2022x, не является кубическим. Поэтому мы не сможем использовать прямой метод факторизации и будем применять численные методы.

Шаг 1: Построение графика
Для начала, давайте построим график данного уравнения, чтобы найти приблизительные значения корней и понять их порядок.

\[
\begin{align*}
y &= X^3 - 2022x + \sqrt{2021}.
\end{align*}
\]

Шаг 2: Подбор значений
Для упрощения уравнения, мы будем использовать тему подстановки значений. Поскольку у нас есть корни между которыми находятся знаки плюс и минус, мы можем предположить, что один из этих корней будет находиться между 0 и 1. Давайте подставим в уравнение значение x = 0.5:

\[
\begin{align*}
y &= 0.5^3 - 2022(0.5) + \sqrt{2021}\\
y &\approx -2021.25,
\end{align*}
\]

Отрицательное значение y указывает на то, что существует один корень между 0 и 1.

Шаг 3: Применение численного метода
Давайте воспользуемся численным методом для нахождения приближенного значения корня, который находится между 0 и 1. Мы будем использовать метод Ньютона-Рафсона, который позволяет нам находить приближенные значения корней.

Метод Ньютона-Рафсона:

1. Выбираем начальное значение \(x_0\) (близкое к искомому корню).
2. Вычисляем следующее приближение \(x_i\) с помощью формулы:
\[
x_i = x_{i-1} - \frac{f(x_{i-1})}{f"(x_{i-1})}
\]
3. Повторяем шаг 2, пока не достигнута необходимая точность.

Давайте выберем \(x_0 = 0.5\):

\[
\begin{align*}
x_1 &= x_0 - \frac{f(x_0)}{f"(x_0)}\\
&= 0.5 - \frac{0.5^3 - 2022(0.5) + \sqrt{2021}}{3(0.5^2) - 2022}\\
\end{align*}
\]