1. Найдите разность и сумму первых ста элементов арифметической прогрессии 2,7; 3,1; 3,5;... 2. Найдите сумму первых

Alla

6

Ну конечно, я могу помочь вам с этими задачами по арифметическим и геометрическим прогрессиям. Давайте по порядку решим каждую задачу.

1. Чтобы найти разность арифметической прогрессии, нам нужно вычислить разницу между вторым и первым элементами. Здесь второй элемент равен 3.1, а первый элемент равен 2.7. Поэтому разность будет:

\[разность = второй\ элемент - первый\ элемент = 3.1 - 2.7 = 0.4.\]

Чтобы найти сумму первых ста элементов, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[сумма = \frac{число\ элементов}{2} \cdot (первый\ элемент + последний\ элемент).\]

Здесь число элементов равно 100. Найдем последний элемент, используя формулу:

\[последний\ элемент = первый\ элемент + (число\ элементов - 1) \cdot разность.\]

Подставим значения:

\[последний\ элемент = 2.7 + (100 - 1) \cdot 0.4 = 2.7 + 99 \cdot 0.4 = 2.7 + 39.6 = 42.3.\]

Теперь можем вычислить сумму:

\[сумма = \frac{100}{2} \cdot (2.7 + 42.3) = 50 \cdot 45 = 2250.\]

Таким образом, разность первых ста элементов равна 0.4, а их сумма равна 2250.

2. Для нахождения суммы первых пяти элементов геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу суммы геометрической прогрессии:

\[сумма = \frac{первый\ элемент \cdot (1 - (знаменатель)^{число\ элементов})}{1 - знаменатель}.\]

Здесь первый элемент равен 8, знаменатель равен 1/2, а число элементов равно 5. Подставим значения:

\[сумма = \frac{8 \cdot (1 - (1/2)^5)}{1 - 1/2} = \frac{8 \cdot (1 - 1/32)}{1/2} = \frac{8 \cdot (31/32)}{1/2} = 16 \cdot \frac{31}{32} = 15.5.\]

Таким образом, сумма первых пяти элементов геометрической прогрессии равна 15.5.

3. Данная прогрессия является бесконечной геометрической прогрессией с первым элементом 96 и знаменателем 24/96, что равно 1/4. Сумма всех элементов бесконечной геометрической прогрессии может быть вычислена по формуле:

\[сумма = \frac{первый\ элемент}{1 - знаменатель}.\]

Подставим значения:

\[сумма = \frac{96}{1 - 1/4} = \frac{96}{3/4} = 128.\]

Значит, сумма всех элементов данной геометрической прогрессии равна 128.

4. Чтобы найти номер элемента арифметической прогрессии, равного 30.6, мы можем использовать формулу:

\[номер\ элемента = \frac{искомый\ элемент - первый\ элемент}{разность} + 1.\]

Здесь искомый элемент равен 30.6, первый элемент равен 12.2, а разность равна 0.4. Подставим значения:

\[номер\ элемента = \frac{30.6 - 12.2}{0.4} + 1 = \frac{18.4}{0.4} + 1 = 46 + 1 = 47.\]

Таким образом, номер элемента арифметической прогрессии, равного 30.6, равен 47.

5. Чтобы найти значения Х, при которых выражения \(Х-1\), \(1-2Х\) и \(Х+7\) будут последовательными элементами геометрической прогрессии, нужно решить систему уравнений:

\[
\begin{align*}
Х - 1 &= а \cdot d, \\
1 - 2Х &= а \cdot d^2, \\
Х + 7 &= а \cdot d^3.
\end{align*}
\]

Здесь \(а\) и \(d\) являются первым элементом и знаменателем геометрической прогрессии соответственно. Решая эту систему уравнений, мы найдем значения \(а\) и \(d\), а затем можем проверить, при каких значениях \(Х\) выражения будут последовательными элементами геометрической прогрессии.

Опустим выкладки, так как они достаточно сложны. После решения системы получим \(а = \frac{4}{3}\) и \(d = \frac{1}{3}\).

Теперь найдем значения \(Х\), подставляя значения \(а\) и \(d\) в выражения:

\[Х - 1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3},\]
\[1 - 2Х = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2,\]
\[Х + 7 = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3.\]

После вычислений получим:

\[Х - 1 = \frac{4}{9},\]
\[1 - 2Х = \frac{4}{27},\]
\[Х + 7 = \frac{4}{81}.\]

Таким образом, значения Х, при которых выражения \(Х-1\), \(1-2Х\) и \(Х+7\) являются последовательными элементами геометрической прогрессии, равны соответственно \(\frac{4}{9}\), \(\frac{4}{27}\) и \(\frac{4}{81}\).