What is the area of triangle ABC formed by the parabola y=16x²-24x-7 intersecting the x-axis at points A and B

Morskoy_Skazochnik

9

Для того чтобы найти площадь треугольника ABC, сначала нам необходимо найти координаты его вершин на плоскости. Из условия задачи, треугольник ABC образуется пара-болой \(y = 16x^2 - 24x - 7\), которая пересекает ось OX в точках A и B, и ось OY в точке C.

Для начала найдем координаты точки C, в которой пара-бола пересекает ось OY. Чтобы это сделать, подставим \(x = 0\) в уравнение \(y = 16x^2 - 24x - 7\):

\[y = 16(0)^2 - 24(0) - 7 = 0 - 0 - 7 = -7\]

Таким образом, координаты точки C равны \(C(0, -7)\).

Далее найдем координаты точек A и B, в которых пара-бола пересекает ось OX. Чтобы это сделать, приравняем \(y\) в уравнении пара-болы к нулю и решим это уравнение отно-сительно \(x\):

\[16x^2 - 24x - 7 = 0\]

К сожалению, это квадратное уравнение не может быть решено факторизацией, поэтому воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

Где \(a = 16\), \(b = -24\), и \(c = -7\). Подставим значения в формулу:

\[D = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-7) = 576 + 448 = 1024\]

Так как дискриминант \(D\) больше нуля, то у квадратного уравнения два различных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Подставим значения в эту формулу:

\[x = \frac{{-(-24) \pm \sqrt{1024}}}{{2 \cdot 16}} = \frac{{24 \pm 32}}{{32}}\]

Разложим это на два уравнения:

\[x_1 = \frac{{24 + 32}}{{32}} = \frac{{56}}{{32}} = \frac{{7}}{{4}}\]
\[x_2 = \frac{{24 - 32}}{{32}} = \frac{{-8}}{{32}} = \frac{{-1}}{{4}}\]

Таким образом, получаем две точки пересечения A(\(\frac{{7}}{{4}}\), 0) и B(\(\frac{{-1}}{{4}}\), 0).

Теперь, когда у нас есть координаты вершин треугольника ABC, мы можем найти его площадь. Для определения площади треугольника используем формулу для треугольника с известными координатами вершин:

\[S = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\]

Подставим значения вершин треугольника ABC в эту формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot |(\frac{{7}}{{4}})(0 - (-7)) + (\frac{{-1}}{{4}})((-7) - 0) + (0)(0 - 0)|\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot |(\frac{{7}}{{4}})(7) + (\frac{{-1}}{{4}})(-7) + 0|\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot |\frac{{49}}{{4}} + \frac{{7}}{{4}}|\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot |\frac{{56}}{{4}}|\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{{56}}{{4}}\]
\[S = \frac{{56}}{{8}}\]
\[S = 7\]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 7. Обратите внимание, что мы взяли модуль значения в формуле для площади, так как никто не гарантирует, что точки A, B и C будут перечислены в правильном порядке, иначе площадь может быть отри-цательной.