What is the duration of the deceleration of the pulley if the brake pads apply a force of 2 kN to a pulley with a mass

Sherlok

9

Для решения этой задачи нам понадобится использовать Закон Ньютона вращательного движения, который устанавливает связь между моментом силы и угловым ускорением.

В данной задаче, если тормозные колодки приложили силу 2 кН к шкиву (полотну), то мы можем сказать, что данная сила создает момент силы, препятствующий вращению полотна. Момент силы можно выразить следующим образом:

\[
\text{{М}} = \text{{сила}} \times \text{{радиус}}
\]

где \(\text{{М}}\) - момент силы, \(\text{{сила}}\) - сила, приложенная к полотну, и \(\text{{радиус}}\) - радиус полотна.

Так как полотно является сплошным диском, его момент инерции можно выразить следующим образом:

\[
\text{{Момент инерции}} = \frac{1}{2} \times \text{{масса}} \times \text{{радиус}}^2
\]

где \(\text{{масса}}\) - масса полотна, а \(\text{{радиус}}\) - радиус полотна.

Момент инерции полотна связан с угловым ускорением следующим образом:

\[
\text{{Момент инерции}} = \text{{угловое ускорение}} \times \text{{момент времени}}
\]

где \(\text{{угловое ускорение}}\) - ускорение изменения угловой скорости, а \(\text{{момент времени}}\) - время ускорения.

Так как мы ищем длительность замедления (декелерации), то будем искать \(\text{{момент времени}}\).

Для начала, нам нужно выразить \(\text{{силу}}\) в Ньютонах, а не в килоньютонах. Один килоньютон равен 1000 Ньютонов, поэтому 2 кН равно 2000 Н.

Теперь мы можем приступить к расчетам.

Давайте предположим, что масса полотна равна \(m\) килограммам и радиус полотна равен \(r\) метрам.

Момент силы, вызванный тормозными колодками, равен \(\text{{сила}} \times \text{{радиус}}\):

\[
\text{{М}} = 2000 \, \text{{Н}} \times r
\]

Момент инерции полотна равен \(\frac{1}{2} \times \text{{масса}} \times \text{{радиус}}^2\):

\[
\text{{Момент инерции}} = \frac{1}{2} \times m \, \text{{кг}} \times r^2
\]

Таким образом, мы можем установить связь между моментом силы и моментом инерции:

\[
2000 \, \text{{Н}} \times r = \frac{1}{2} \times m \, \text{{кг}} \times r^2
\]

Теперь мы можем найти значение \(r\):

\[
r = \frac{4000 \, \text{{Н}}}{m \, \text{{кг}}}
\]

Далее, мы можем подставить это значение в уравнение для момента инерции:

\[
\text{{Момент инерции}} = \frac{1}{2} \times m \, \text{{кг}} \times \left(\frac{4000 \, \text{{Н}}}{m \, \text{{кг}}}\right)^2
\]

Так как момент инерции связан с угловым ускорением и моментом времени, мы можем записать:

\[
\text{{угловое ускорение}} \times \text{{момент времени}} = \frac{1}{2} \times m \, \text{{кг}} \times \left(\frac{4000 \, \text{{Н}}}{m \, \text{{кг}}}\right)^2
\]

Теперь, чтобы найти момент времени, необходимое для замедления, необходимо знать угловое ускорение, которое, как указано в задаче, является постоянным. Угловое ускорение можно выразить через частоту вращения следующим образом:

\[
\text{{угловое ускорение}} = 2\pi \times \text{{частота вращения}}
\]

Здесь \(\pi\) - математическая константа, приблизительно равная 3,14.

Таким образом, наше уравнение принимает следующую форму:

\[
2\pi \times \text{{частота вращения}} \times \text{{момент времени}} = \frac{1}{2} \times m \, \text{{кг}} \times \left(\frac{4000 \, \text{{Н}}}{m \, \text{{кг}}}\right)^2
\]

Мы можем решить это уравнение, изолируя \(\text{{момент времени}}\):

\[
\text{{момент времени}} = \frac{\frac{1}{2} \times m \, \text{{кг}} \times \left(\frac{4000 \, \text{{Н}}}{m \, \text{{кг}}}\right)^2}{2\pi \times \text{{частота вращения}}}
\]

Таким образом, мы получили выражение для момента времени, необходимого для замедления полотна при заданных условиях. Вам осталось только подставить значения массы полотна \(m\) (в килограммах) и частоты вращения (в минутах\(^{-1}\)), чтобы получить числовое значение.