What is the length of AB if CA = 120 cm and CB = 64 cm? Simplify the fractions. The sine of angle B is equal

Ястребка

69

Чтобы найти длину отрезка AB, нам нужно использовать теорему косинусов. Для начала, представим треугольник ABC.

Дано:
CA = 120 см
CB = 64 см

Нам известны две стороны треугольника и угол между ними, поэтому мы можем использовать теорему косинусов:

\[AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos(\angle C)\]

Первым шагом найдем значение угла C. Мы знаем, что синус угла B равен косинусу угла C:

\[\sin(\angle B) = \cos(\angle C)\]

Теперь найдем значение угла C:

\[\cos(\angle C) = \sin(\angle B)\]
\[\cos(\angle C) = \cos(90° - \angle B)\]

Так как синус и косинус углов дополнительны, можно записать:

\[\cos(\angle C) = \sin(90° - \angle B)\]

Теперь найдем синус угла C:

\[\sin(\angle C) = \sin(90° - \angle B)\]
\[\sin(\angle C) = \sin(90°) \cdot \cos(\angle B) - \cos(90°) \cdot \sin(\angle B)\]
\[\sin(\angle C) = \cos(\angle B)\]

Так как \(\cos(\angle C) = \sin(\angle C) = \cos(\angle B)\), мы знаем, что угол C равен углу B.

Теперь, заменяя \(\cos(\angle C)\) на \(\cos(\angle B)\) в формуле для длины отрезка AB, получим:

\[AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos(\angle B)\]

Подставим значения, которыми мы располагаем:

\[AB^2 = 120^2 + 64^2 - 2 \cdot 120 \cdot 64 \cdot \cos(\angle B)\]

Вычисляем:

\[AB^2 = 14400 + 4096 - 19200 \cdot \cos(\angle B)\]
\[AB^2 = 18596 - 19200 \cdot \cos(\angle B)\]

Следовательно,

\[AB = \sqrt{18596 - 19200 \cdot \cos(\angle B)}\]

Задача состояла в нахождении длины отрезка AB, поэтому теперь мы знаем, как найти эту величину.