What is the length of BC if BA is 14 cm and ∢A is 60 degrees?

Zvezdopad_Volshebnik

37

Для решения этой задачи, нам понадобится применить тригонометрию.

У нас имеется треугольник ABC, где точка A соединяет стороны BC и BA. Задача состоит в определении длины отрезка BC.

Мы знаем, что BA равна 14 см, а угол ∢A равен 60 градусов.

Для начала, нам нужно найти значение угла ∢C. Откройте формулу синуса:

\[
\sin(\angle C) = \frac{{\text{{противоположный катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

В данной задаче, гипотенузой является сторона AB, а противоположным катетом является сторона BC. Значит, формула примет следующую форму:

\[
\sin(\angle C) = \frac{{BC}}{{AB}}
\]

Извлекая значение угла С, мы получаем:

\[
\angle C = \arcsin\left(\frac{{BC}}{{AB}}\right)
\]

Подставляем известные значения:

\[
\angle C = \arcsin\left(\frac{{BC}}{{14}}\right)
\]

Теперь, мы знаем, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому:

\[
\angle C + \angle A + \angle B = 180^\circ
\]

Заменяем известные значения:

\[
\arcsin\left(\frac{{BC}}{{14}}\right) + 60^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]

Вычитаем 150 градусов из обеих сторон:

\[
\arcsin\left(\frac{{BC}}{{14}}\right) = 30^\circ
\]

Теперь, найденный угол является остроугольным и применяем формулу косинуса для нахождения BC:

\[
\cos(\angle C) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Где прилежащий катет - сторона AB, а гипотенуза - сторона BC.

Подставляем значения и решаем уравнение:

\[
\cos(30^\circ) = \frac{{14}}{{BC}}
\]

Используя таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор, мы находим, что \(\cos(30^\circ) = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\).

Подставляем значение и решаем уравнение:

\[
\frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = \frac{{14}}{{BC}}
\]

Теперь перекрещиваем и решаем уравнение:

\[
BC = \frac{{14 \cdot 2}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{28}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{28 \sqrt{3}}}{{3}}
\]

Итак, длина отрезка BC равна \(\frac{{28 \sqrt{3}}}{{3}}\) см.

Мы использовали тригонометрию для решения этой задачи, чтобы продемонстрировать применение математических понятий в практических ситуациях. Надеюсь, это решение было понятным и полезным для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!