What is the length of chord ac if the angle abc is 30° and the radius of the circle is

Boris

63

Давайте решим данную задачу пошагово. У нас есть окружность с радиусом \( r \), а также угол \( \angle ABC \), который равен 30°. Нам нужно найти длину хорды \( AC \).

1. Для начала рассмотрим сегмент окружности, заключенный между хордой \( AC \) и радиусами \( AB \) и \( BC \). Обозначим его как \( \text{sector} \).

2. Возьмем центр окружности и соединим его с точками \( A \) и \( C \). Полученные отрезки \( OA \) и \( OC \) являются радиусами окружности.

3. Поскольку угол \( \angle ABC \) равен 30°, то угол \( \angle AOC \) будет в два раза больше, то есть равен 60°. Обозначим его как \( \angle AOC = \theta \).

4. Для решения задачи нам понадобится использовать тригонометрию. Рассмотрим треугольник \( AOC \). У него есть одна известная сторона, равная \( r \), а также известный угол \( \theta \).

5. Теперь мы можем использовать тригонометрическую функцию косинуса для нахождения стороны \( AC \):
\[ AC = 2 \cdot OA = 2 \cdot r \cdot \cos(\theta) \]
Здесь мы использовали тот факт, что из центра окружности в любую точку находится два радиуса.

6. Подставим значение угла \( \theta = 60° \) в формулу:
\[ AC = 2 \cdot r \cdot \cos(60°) \]

7. Теперь можем вычислить значение \( \cos(60°) \). Угол 60° является частным случаем известного значения в таблице тригонометрических функций.
\[ \cos(60°) = \frac{1}{2} \]

8. Подставим это значение в формулу:
\[ AC = 2 \cdot r \cdot \frac{1}{2} \]

9. Упростим выражение:
\[ AC = r \]

Таким образом, мы получили, что длина хорды \( AC \) равна радиусу окружности \( r \).