What is the logarithm of x in terms of logarithms of the square root of a (2) and the reciprocal of a (3)?

Скользящий_Тигр

47

Чтобы найти логарифм x, используя логарифмы квадратного корня из а и обратного значения а, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов и формулами преобразования логарифма.

Для начала, заметим, что логарифм квадратного корня из a (2) можно записать как:

\(\log(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\log(a)\)

Теперь давайте найдем логарифм обратного значения a (3):

\(\log\left(\frac{1}{a}\right) = -\log(a)\)

Используя данные замечания, мы можем переписать логарифм x:

\(\log(x) = \log\left(x^1\right) = \log\left(x^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3}\right)\)

Здесь мы используем свойства степени и логарифма:

\(x^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3} = \left(\sqrt{a}\right)^2 \cdot \frac{1}{a}^3 = a \cdot \frac{1}{a^3} = \frac{a}{a^3} = \frac{1}{a^2}\)

Теперь мы можем записать искомый логарифм:

\(\log(x) = \log\left(\frac{1}{a^2}\right) = -2 \log(a)\)

Таким образом, ответ: логарифм x равен -2 раз логарифма a.

Этот ответ можно обосновать, применяя определение логарифма и свойства логарифма относительно степеней. Также можно показать школьнику пошаговые преобразования и объяснить каждый шаг для лучшего понимания.