What is the modified equation of √3 cosx + 2 cos ( x-5п/6)=cos2x [-11п/2]?

Всеволод_4423

58

Чтобы найти модифицированное уравнение \(\sqrt{3}\cos(x) + 2\cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) = \cos(2x) - \frac{11\pi}{2}\), мы последовательно применим различные математические преобразования. Давайте начнем.

1. Начнем с упрощения уравнения. Используя тригонометрическое тождество \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\), мы можем переписать уравнение следующим образом:

\(\sqrt{3}\cos(x) + 2\cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) = 2\cos^2(x) - 1 - \frac{11\pi}{2}\)

2. Теперь мы можем решить это уравнение, приведя подобные слагаемые и выражая \(\cos(x)\):

\(\sqrt{3}\cos(x) + 2\left(\cos(x)\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \sin(x)\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right) = 2\cos^2(x) - 1 - \frac{11\pi}{2}\)

\(\sqrt{3}\cos(x) + 2\left(\frac{1}{2}\cos(x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x)\right) = 2\cos^2(x) - 1 - \frac{11\pi}{2}\)

\(\sqrt{3}\cos(x) + \cos(x) - \sqrt{3}\sin(x) = 2\cos^2(x) - 1 - \frac{11\pi}{2}\)

\(\sqrt{3}\cos(x) + \cos(x) - 2\cos^2(x) + 1 + \sqrt{3}\sin(x) - \frac{11\pi}{2} = 0\)

3. Теперь упорядочим все слагаемые и приведем подобные члены:

\(-2\cos^2(x) + 2\sqrt{3}\cos(x) + \cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) - \frac{11\pi}{2} + 1 = 0\)

\(-2\cos^2(x) + (2\sqrt{3} + 1)\cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) - \frac{11\pi}{2} + 1 = 0\)

4. Наконец, мы можем записать модифицированное уравнение, в котором всё выражение равно нулю:

\(-2\cos^2(x) + (2\sqrt{3} + 1)\cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) - \frac{11\pi}{2} + 1 = 0\)

Итак, модифицированное уравнение \(\sqrt{3}\cos(x) + 2\cos\left(x - \frac{5\pi}{6}\right) = \cos(2x) - \frac{11\pi}{2}\) имеет вид \(-2\cos^2(x) + (2\sqrt{3} + 1)\cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) - \frac{11\pi}{2} + 1 = 0\).