What is the value of a1 if D = 20 and s6 = 60 in an arithmetic progression?

Chupa

62

Хорошо, чтобы найти значение \(a_1\) в арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу:

\[s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

где \(s_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, а \(a_n\) - \(n\)-ый член прогрессии.

В данном случае, нам известно, что \(D = 20\) и \(s_6 = 60\). Мы можем использовать эту информацию, чтобы составить два уравнения и найти значения \(a_1\) и \(a_6\).

Уравнение для суммы первых шести членов прогрессии:

\[s_6 = \frac{6}{2} \cdot (a_1 + a_6)\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[60 = 3 \cdot (a_1 + a_6)\]

Уравнение для разности между шестым и первым членами прогрессии:

\[D = a_6 - a_1\]

Подставляя значение \(D = 20\), получаем:

\[20 = a_6 - a_1\]

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(a_6\)), поэтому мы можем решить их совместно.

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения и вычитания. Давайте воспользуемся методом сложения и вычитания.

Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[2 \cdot 60 = 6 \cdot (a_1 + a_6)\]

\[120 = 6 \cdot (a_1 + a_6)\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[60 = 3 \cdot (a_1 + a_6)\]

\[120 = 6 \cdot (a_1 + a_6)\]

Далее, вычитаем первое уравнение из второго:

\[120 - 60 = 6 \cdot (a_1 + a_6) - 3 \cdot (a_1 + a_6)\]

\[60 = 3 \cdot a_1 + 3 \cdot a_6\]

Теперь у нас есть только одно уравнение с двумя неизвестными. Мы можем выразить \(a_1\) через \(a_6\):

\[60 = 3 \cdot a_1 + 3 \cdot a_6\]

\[60 = 3(a_1 + a_6)\]

\[a_1 + a_6 = \frac{60}{3}\]

\[a_1 + a_6 = 20\]

Используя второе уравнение системы, мы знаем, что \(D = 20\) и \(a_6 - a_1 = 20\). Мы можем выразить \(a_6\) через \(a_1\):

\[a_6 = 20 + a_1\]

Теперь мы можем подставить это значение \(a_6\) в уравнение \(a_1 + a_6 = 20\):

\[a_1 + (20 + a_1) = 20\]

\[2 \cdot a_1 + 20 = 20\]

Вычитаем 20 с обеих сторон уравнения:

\[2 \cdot a_1 = 0\]

Деля обе части уравнения на 2, получаем:

\[a_1 = 0\]

Таким образом, значение \(a_1\) в данной арифметической прогрессии равно 0.