What is the value of the expression: 1) sin 120° cos 150° tan 135° 2) 2cos² 135° + 6sin 150° - 4cot 90° cos 141°

Магический_Лабиринт

14

Хорошо, давайте начнем с первого выражения.

1) sin 120° cos 150° tan 135°

Перед тем, как продолжить, давайте вспомним, что такое синус, косинус и тангенс. В тригонометрии, синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Косинус угла определяется как отношение прилегающего катета к гипотенузе, а тангенс угла - как отношение противолежащего катета к прилегающему катету.

Поэтому мы можем начать с разложения каждого из этих выражений:

sin 120° = sin (60° + 60°)
cos 150° = cos (60° + 90°)
tan 135° = tan (90° + 45°)

Теперь давайте вспомним значения синуса, косинуса и тангенса для этих углов.

Синус 60° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), так как в равностороннем треугольнике все стороны равны, и синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Синус 90° равен 1, а синус 45° равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), так как в прямоугольном треугольнике с катетами равными 1 и гипотенузой, мы получаем этот результат.

Теперь мы можем вычислить значение первого выражения:

1) sin 120° cos 150° tan 135°
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) * \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) * 1
= \(\frac{-3}{4}\)

Теперь перейдем ко второму выражению:

2) 2cos² 135° + 6sin 150° - 4cot 90° cos 141°

В этом выражении мы также будем использовать значения косинуса и синуса для заданных углов.

cos 135° равен \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\), так как в треугольнике с катетами равными 1 и гипотенузой, мы получаем отношение прилегающего катета к гипотенузе.

sin 150° равен \(\frac{1}{2}\), так как в треугольнике с катетами равными 1 и гипотенузой, мы получаем отношение противолежащего катета к гипотенузе.

cot 90° равен 0, так как тангенс 90° не существует.

cos 141° равен \(cos(135° + 6°)\). Так как соседние углы в треугольнике прямые (сумма углов треугольника равна 180°), то косинус 141° равен косинусу 6°.

Теперь мы можем вычислить значение второго выражения:

2cos² 135° + 6sin 150° - 4cot 90° cos 141°
= 2 * (\(-\frac{1}{\sqrt{2}}\))^2 + 6 * \(\frac{1}{2}\) - 4 * 0 * cos 6°
= 2 * \(\frac{1}{2}\) + 3
= 1 + 3
= 4

Таким образом, значение первого выражения равно \(\frac{-3}{4}\), а значение второго выражения равно 4.