Як довести, що трикутник з координатами вершин А(4, 0, 7), В(0, 8, -1) та С(2, -2, 3) є прямокутним? Як знайти площу

Tainstvennyy_Mag

2

Чтобы доказать, что треугольник с вершинами А(4, 0, 7), В(0, 8, -1) и С(2, -2, 3) является прямоугольным, мы должны проверить, выполняется ли одно из следующих условий:

1. Векторы двух сторон треугольника являются ортогональными.
2. Произведение скалярных произведений двух сторон треугольника равно нулю.

Для начала, найдем векторы сторон треугольника. Обозначим стороны треугольника как \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B- y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-4 \\ 8-0 \\ -1-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -8 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \\ z_C - z_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ -2-0 \\ 3-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} x_C - x_B \\ y_C - y_B \\ z_C - z_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ -2-8 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -10 \\ 4 \end{pmatrix}\]

Теперь, чтобы проверить первое условие, мы должны убедиться, что скалярное произведение \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равно нулю:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4)(-2) + (8)(-2) + (-8)(-4) = 8 - 16 + 32 = 24 - 16 = 8\]

В результате получили ненулевое значение, что означает, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) не являются ортогональными.

Теперь, чтобы проверить второе условие, мы должны убедиться, что скалярное произведение \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равно нулю:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-4)(2) + (8)(-10) + (-8)(4) = -8 - 80 - 32 = -88 - 32 = -120\]

Опять же полученное значение не равно нулю, поэтому векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) не являются ортогональными.

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что треугольник со сторонами А(4, 0, 7), В(0, 8, -1) и С(2, -2, 3) не является прямоугольным.

Теперь давайте найдем площадь этого треугольника. Мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

Для начала, вычислим длины сторон треугольника:

Для стороны \(\overrightarrow{AB}\):
\[a = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12\]

Для стороны \(\overrightarrow{AC}\):
\[b = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24}\]

Для стороны \(\overrightarrow{BC}\):
\[c = \sqrt{2^2 + (-10)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 100 + 16} = \sqrt{120}\]

Теперь вычислим полупериметр \(p\):
\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{12 + \sqrt{24} + \sqrt{120}}{2}\]

Наконец, найдем площадь треугольника \(S\):
\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

Подставляем значения и вычисляем.

Примечание: Если вам требуется конкретный численный ответ, пожалуйста, уточните.